XXIX OM - I - Zadanie 4

Niech $ Y $ będzie figurą składającą się z odcinków domkniętych $ \overline{OA} $, $ \overline{OB} $, $ \overline{OC} $, przy czym punkt O leży wewnątrz trójkąta $ ABC $. Dowieść, że w żadnym kwadracie nie można umieścić nieskończenie wielu wzajemnie rozłącznych izometrycznych obrazów figury $ Y $.

Rozwiązanie

Niech $ d $ będzie najmniejszą z liczb $ OA $, $ OB $, $ OC $. Obierzmy punkty $ P \in \overline{OA} $, $ Q \in \overline{OB} $, $ R \in \overline{OC} $ takie, że $ OP= OQ = OR= \frac{d}{2} $ (rys. 6)

Wtedy $ PQ < OP + OQ = d $ i podobnie $ PR < d $ oraz $ QR < d $. Jeżeli $ Y' $ jest figurą składającą się z odcinków domkniętych $ \overline{O'A'} $, $ \overline{O'B'} $ i $ \overline{O'C'} $ izometryczną z figurą $ Y $ oraz punkt $ O' $ należy do trójkąta $ OPQ $, to każdy z odcinków $ \overline{O'A'} $, $ \overline{O'B'} $ i $ \overline{O'C'} $ przecina obwód trójkąta $ OPQ $, ponieważ w trójkącie nie jest zawarty żaden odcinek dłuższy od najdłuższego boku trójkąta. Z warunków zadania wynika, że każdy z kątów $ \measuredangle A'O'B' $, $ \measuredangle B'O'C' $ i $ \measuredangle C'O'A' $ ma miarę mniejszą od $ \pi $ i w sumie dają one kąt pełny. Wobec tego co najmniej jeden z odcinków $ \overline{O'A'} $, $ \overline{O'B'} $ i $ \overline{O'C'} $ przecina bok $ \overline{OP} $ lub $ \overline{OQ} $. Figury $ Y $ i $ Y' $ nie są więc rozłączne.
om29_1r_img_6.jpg
Analogicznie dowodzimy, że jeżeli punkt $ O' $ należy do trójkąta $ OPR $ lub $ OQR $, to figury $ Y $ i $ Y' $ nie są rozłączne. Jeżeli więc figury $ Y $ i $ Y' $ są rozłączne, to punkt $ O' $ nie należy do trójkąta $ PQR $. Niech $ r $ będzie długością promienia pewnego koła o środku w punkcie $ O $ zawartego w trójkącie $ PQR $. Z powyższego wynika, że jeżeli figury $ Y $ i $ Y' $ są rozłączne, to punkty $ O $ i $ O' $ są odległe więcej niż o $ r $.

Rozpatrzmy teraz kwadrat $ K $ o boku długości $ a $. Obierzmy liczbę naturalną $ n $ większą od $ \displaystyle \frac{a}{r} \sqrt{2} $ i podzielmy kwadrat $ K $ prostymi równoległymi do boków na $ n^2 $ małych kwadratów. Długość boku takiego małego kwadratu jest więc równa $ \displaystyle \frac{a}{n} $, a długość jego przekątnej $ \displaystyle \frac{a}{n} \sqrt{2} $. Ponieważ $ n > \frac{a}{r} \sqrt{2} $, więc $ \frac{a}{n} \sqrt{2} < r $. Odległość dowolnych dwóch punktów należących do kwadratu nie przekracza długości jego przekątnej. Wobec tego odległość dowolnych dwóch punktów należących do małego kwadratu jest mniejsza od $ r $. Z początkowej części rozwiązania wynika więc, że jeżeli $ f_1 $ i $ f_2 $ są izometriami figury $ Y $ w kwadrat $ K $ oraz figury $ f_1(Y) $ i $ f_2(Y) $ są rozłączne, to punkty $ f_1(0) $ i $ f_2(0) $ są odległe więcej niż o $ r $. Punkty te nie należą więc do jednego małego kwadratu. Zatem w kwadracie $ K $ można umieścić co najwyżej $ n^2 $ wzajemnie rozłącznych obrazów izometrycznych figury $ Y $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź