XXIX OM - I - Zadanie 5

Dla jakich liczb naturalnych $ n $ istnieją niezerowe wielomiany
$ f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $, $ g(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ o współczynnikach całkowitych spełniające równość

\[<br />
\left(\sum_{i=1}{n} x_i\right)\cdot f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) = g(x_1^2,x_2^2, \ldots ,x_n^2) ?<br />
\]

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw prosty

Lemat. Jeżeli wielomian $ W(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ nie ulega zmianie, gdy na miejsce zmiennej $ x_i $ podstawimy w nim $ (-x_i) $, to zmienna ta występuje w nim tylko z wykładnikami parzystymi; to znaczy istnieje taki wielomian $ V(x_1,x_2, \ldots, x_n) $, że $ W(x_1, x_2, \ldots , x_i, \ldots , x_n) = V (x_1, x_2, \ldots, x_i^2, \ldots, x_n) $.

Dowód. Dany wielomian jest sumą jednomianów postaci $ a x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_n^{a_n} $, gdzie $ a \ne 0 $. Z założenia mamy

\[<br />
a x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_i^{a_i} \ldots x_n^{a_n} =<br />
a x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots (-x_i)^{a_i} \ldots x_n^{a_n}.<br />
\]

Wobec tego $ (-1)^{a_i} = 1 $, czyli liczba $ a_1 $ jest parzysta. Zatem w każdym jednomianie wielomianu $ W(x_1, x_2,  \ldots , x_n) $ zmienna $ x_i $ występuje z wykładnikiem parzystym. Wynika stąd teza lematu.

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ istnieją wielomiany $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ i $ g(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ spełniające warunki zadania.

Rozpatrzmy wielomian $ F(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ będący iloczynem wszystkich wielomianów postaci $ c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n $, gdzie współczynniki $ c_1, c_2, \ldots, c_n $ przybierają wartości $ 1 $ i $ -1 $. Wielomian $ F(x_1, x_2,  \ldots , x_n) $ ma więc współczynniki całkowite i jeżeli w nim na miejsce dowolnej zmiennej $ x_i $ podstawimy $ (-x_i) $, to oczywiście otrzymamy znów wielomian $ F(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $. Wobec tego na mocy lematu w wielomianie $ F(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ każda zmienna występuje tylko z wykładnikami parzystymi, to znaczy istnieje taki wielomian o współczynnikach całkowitych $ g(x_1, x_2, \ldots, x_n) $, że $ F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots, x^2_n) $. Jednym z czynników wielomianu $ F(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ jest z określenia $ x_1 + x_2 +  \ldots  + x_n $, a iloczyn pozostałych czynników jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Oznaczając ten iloczyn przez $ f(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ otrzymujemy $ (x_1 + x_2 +  \ldots  + x_n) \cdot f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = F(x_1, x_2, \ldots ,x_n) =<br />
= g(x_1^2, x_2^2, \ldots ,x_n^2) \ne 0 $.

Zachodzi więc teza zadania.

Uwaga 1. Można opisać wszystkie wielomiany $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ i $ g(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ spełniające warunki zadania.

Przypuśćmy najpierw, że $ n > 1 $ i wielomiany $ f(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ i $ g(x_1,x_2,  \ldots ,x_n) $ spełniają warunki zadania. Zachodzi więc równość (1). Podstawiając w niej na miejsce zmiennej $ x_i $ jednomian $ c_ix_i $, gdzie $ c_i = 1 $ lub $ -1 $ oraz $ i = 2, 3,  \ldots , n $ stwierdzamy, że wielomian $ g (x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2) $ jest podzielny przez każdy z wielomianów

\[<br />
(3) \qquad x_1 + c_2x_2 +  \ldots  + c_nx_n, \ \textrm{gdzie}\ c_i=1 \ \textrm{lub} \ -1.<br />
\]

Ponieważ wielomiany (3) są parami względnie pierwsze, więc wielomian $ g(x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2) $ jest również podzielny przez ich iloczyn

\[<br />
(4) \qquad h(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{c_i = \pm 1} (x_1 + c_2x_2 +  \ldots  + c_nx_n).<br />
\]

Iloczyn ten zawiera $ 2^{n-1} $ czynników, ponieważ tyle jest układów $ (c_2, c_3,  \ldots , c_n) $, gdzie $ c_i = 1 $ lub $ -1 $. Zmiana znaku jednej ze zmiennych $ x_2,x_3, \ldots , x_n $ nie zmienia oczywiście wielomianu $ h(x_1, x_2, \ldots , x_n) $. Na mocy lematu więc każda z tych zmiennych występuje w wielomianie $ h(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ tylko z wykładnikami parzystymi.

Jeżeli $ n > 1 $, to również zmienna $ x_1 $ występuje w wielomianie $ h(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ tylko z wykładnikami parzystymi, ponieważ

\[<br />
\begin{split}<br />
 h(-x_1, x_2, \ldots, x_n)&= \prod_{c_i = \pm 1} (-x_1 + c_2x_2 + \ldots  + c_nx_n) = \\<br />
& = (-1)^{2^{n-1}} \prod_{c_i = \pm 1} (x_1 - c_2x_2 - \ldots - c_nx_n) =\\<br />
&=<br />
h(x_1, -x_2, \ldots, -x_n) = h(x_1, x_2, \ldots, x_n).<br />
\end{split}<br />
\]

Istnieje więc taki wielomian niezerowy o współczynnikach całkowitych $ g_0(x_1, x_2, \ldots , x_n) $, że

\[<br />
(5) \qquad h(x_1, x_2,  \ldots , x_n) = g_0 (x_1^2, x_2^2,  \ldots , x_n^2).<br />
\]

Na mocy (4) jednym z czynników wielomianu $ h(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ jest $ x_1 + x_2 +  \ldots  + x_n $. Oznaczając iloczyn pozostałych czynników przez $ f_0 (x_1, x_2, \ldots , x_n) $ stwierdzamy na mocy (4) i (5), że

\[<br />
(6) \qquad (x_1 + x_2 + \ldots +x_n) \cdot f_0 (x_1, x_2, \ldots, x_n) =<br />
 g_0 (x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2).<br />
\]

Udowodniliśmy więc, że wielomiany $ f_0 (x_1, x_2, \ldots , x_n) $ oraz $ g_0(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ spełniają warunki zadania oraz, że jeżeli pewne wielomiany $ f(x_1, x_2, \ldots , x_n) $ i $ g(x_1, x_2,  \ldots ,x_n) $ spełniają warunki zadania, to wielomian $ g(x_1, x_2, \ldots,x_n) $ jest podzielny przez $ g_0(x_1, x_2,  \ldots , x_n) $. Mamy więc

\[<br />
(7) \qquad g (x_1, x_2, \ldots, x_n) = g_0 (x_1, x_2, \ldots , x_n) \cdot g_1 (x_1, x_2, \ldots, x_n),<br />
\]

gdzie $ g_1 (x_1, x_2, \ldots , x_n) $ jest pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych.

Z (1), (6) i (7) wynika, że

\[<br />
(8) \qquad f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_0 (x_1, x_2,  \ldots , x_n) \cdot g_1(x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2).<br />
\]

Na odwrót, jeżeli $ g_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ jest dowolnym wielomianem niezerowym o współczynnikach całkowitych, to wielomiany $ f(x_1, x_2,  \ldots ,x_n) $ i $ g(x_1,x_2,  \ldots ,x_n) $ określone wzorami (7) i (8) na mocy (6) spełniają warunki zadania.

W przypadku $ n > 1 $ wzory (7) i (8) opisują więc wszystkie wielomiany spełniające warunki zadania. W przypadku $ n = 1 $ oczywiście wszystkie wielomiany $ f(x_1) $ i $ g(x_1) $ spełniające warunki zadania są postaci $ f(x_1) = x_1 g_1 (x_1^2) $, $ g(x_1) = x_1g_1(x_1) $, gdzie $ g_1(x_1) $ jest dowolnym
wielomianem niezerowym o współczynnikach całkowitych.

Uwaga 2. Prawdziwe są twierdzenia ogólniejsze. Na przykład:

Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby naturalnej $ n $ i wielomianu niezerowego o współczynnikach całkowitych $ w(x_1,x_2,  \ldots ,x_n) $ istnieją wielomiany niezerowe o współczynnikach całkowitych $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ i $ g(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ spełniające

\[<br />
w(x_1, x_2, \ldots, x_n) cdot f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = g(x_1^2, x_2^2,  \ldots ,x_n^2).<br />
\]

Twierdzenie 2. Dla dowolnych liczb naturalnych $ n $ i $ r $ istnieją takie wielomiany niezerowe o współczynnikach całkowitych $ f(x_1, x_2,  \ldots , x_n) $ i $ g(x_1, x_2, \ldots ,x_n) $, że

\[<br />
(x_1 + x_2+  \ldots  + x_n) \cdot f(x_1, x_2, \ldots ,x_n)= g(x_1^r, x_2^r, \ldots, x_n^r).<br />
\]

Dowód pierwszego z tych twierdzeń przebiega podobnie do rozwiązania zadania, szczegółowe jego przeprowadzenie pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie. Dowód drugiego twierdzenia można przeprowadzić używając liczb zespolonych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź