XXIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że na płaszczyźnie dowolna łamana zamknięta o długości 1 zawiera się w pewnym kole o promieniu długości $ \frac{1}{4} $

Rozwiązanie

Niech punkty $ A $ i $ B $ należące do łamanej zamkniętej długości $ 1 $ dzielą tę łamaną na dwie części równej długości i niech $ C $ będzie dowolnym punktem tej łamanej. Ponieważ odcinek jest najkrótszą łamaną łączącą dwa punkty, więc $ AC + BC \leq \frac{1}{2} $.

Niech $ P $ będzie środkiem odcinka $ \overline{AB} $, $ C' $ - punktem symetrycznym do $ C $ względem punktu $ P $ (rys. 7). Wtedy $ CP = C'P $ i $ BC= AC' $. Wobec tego

\[<br />
2CP = CC' \leq AC + AC' = AC + BC \leq \frac{1}{2}<br />
\]

i stąd $ CP \leq \frac{1}{4} $.

Udowodniliśmy więc, że dowolny punkt $ C $ danej łamanej jest odległy od punktu $ P $ nie więcej niż o $ \frac{1}{4} $. Wobec tego ta łamana jest zawarta w kole o środku $ P $ i promieniu długości $ \frac{1}{4} $.
om29_1r_img_7.jpg
Uwaga. Analogiczne zadanie było podane na zawodach VII Olimpiady Matematycznej jako zadanie 23 (5).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź