XXIX OM - I - Zadanie 8

Niech $ (a_n) $ będzie takim ciągiem niemalejącym liczb naturalnych, że ciąg $ \left(\frac{n}{a_n}\right) $ jest nieograniczony. Udowodnić, że wśród wyrazów ciągu $ \left(\frac{n}{a_n}\right) $ jest nieskończenie wiele liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Pierwszy wyraz ciągu $ \binom{n}{a_n} $ jest nie większy od $ 1 $, ponieważ $ a_1 \geq 1 $. Ciąg ten jest nieograniczony i wobec tego dla każdej liczby naturalnej $ m $ istnieje taka liczba naturalna $ r $, że

\[<br />
(1) \qquad \frac{r}{a_r} \leq m < \frac{r+1}{a_{r+1}}.<br />
\]

Mianowicie, wystarczy $ r $ tak obrać, by $ \frac{r+1}{a_{r+1}} $ był najwcześniejszym wyrazem ciągu $ \binom{n}{a_n} $ większym od $ m $.

Mnożąc nierówności (1) stronami przez $ a_r $ i korzystając z tego, że ciąg $ (a_n) $ jest niemalejący otrzymujemy:

\[<br />
r \leq ma_r < (r + 1) \frac{a_r}{a_{r+1}} \leq r + 1.<br />
\]

Tak więc liczba naturalna $ ma_r $ należy do przedziału $ \langle r, r+1 \rangle $,
skąd wynika, że $ ma_r = r $, czyli $ m = \frac{r}{a_r} $.

Udowodniliśmy zatem, że każda liczba naturalna $ m $ jest wyrazem ciągu $ \binom{n}{a_n} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź