Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna

Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna / International Mathematical Olympiad

Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna

Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna (MOM) odbywa się od 1959 roku. W zawodach tych uczestniczą uczniowie z kilkudziesięciu państw, również z Polski. Na MOM Komitet Główny powołuje sześciu uczniów, którzy uzyskali najlepsze rezultaty na zawodach trzeciego stopnia Olimpiady Matematycznej. Zawody MOM trwają dwa dni, każdego dnia uczestnicy rozwiązują po 3 zadania, na które mają 4,5 godziny czasu. Uczniowie powołani na MOM uczestniczą w obozie przygotowawczym.

L MOM - Zadanie 6

Liczby $ a_1,a_2,\dots,a_n $ są parami różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, zaś $ M $ jest zbiorem $ n-1 $ dodatnich liczb całkowitych, przy czym $ M $ nie zawiera liczby $ s=a_1+a_2+\dots+a_n $. Konik polny skacze wzdłuż osi liczbowej w dodatnim jej kierunku. Zaczyna w punkcie 0 i wykonuje $ n $ skoków, których długościami są liczby $ a_1,a_2,\dots,a_n $, wzięte w pewnej kolejności. Udowodnić, że kolejność tę można wybrać w taki sposób, by po żadnym ze skoków konik polny nie wylądował w punkcie należącym do zbioru $ M $.

L MOM - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $ przekształcające zbiór dodatnich liczb całkowitych w zbiór dodatnich liczb całkowitych takie, że dla każdych dwóch dodatnich liczb całkowitych $ a $ oraz $ b $ istnieje niezdegenerowany trójkąt, którego boki mają długości

\[<br />
a,\quad f(b)\quad\text{oraz}\quad f(b+f(a)-1).<br />
\]

(Trójkąt niezdegenerowany to taki, którego wierzchołki nie leżą na jednej prostej.)

L MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ zachodzi równość $ AB=AC $. Dwusieczne kątów $ CAB $ oraz $ ABC $ przecinają jego boki $ BC $ oraz $ AC $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Punkt $ K $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ADC $. Załóżmy ponadto, że $ \measuredangle BEK=45^\circ $. Wyznaczyć możliwe wartości $ \measuredangle CAB $.

L MOM - Zadanie 3

Ściśle rosnący ciąg $ s_1,s_2,s_3,\dots $, którego wyrazy są dodatnimi liczbami całkowitymi, ma tę własność, że jego podciągi

\[<br />
s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\dots\qquad\text{oraz}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\dots<br />
\]

są ciągami arytmetycznymi. Dowieść, że ciąg $ s_1,s_2,s_3,\dots $ również jest ciągiem arytmetycznym.

L MOM - Zadanie 2

Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $. Punkty $ P $ oraz $ Q $ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $ CA $ oraz $ AB $. Niech $ K $, $ L $ oraz $ M $ będą odpowiednio środkami odcinków $ BP $, $ CQ $ oraz $ PQ $. Niech ponadto $ \Gamma $ będzie okręgiem przechodzącym przez punkty $ K $, $ L $ oraz $ M $. Załóżmy, że prosta $ PQ $ jest styczna do okręgu $ \Gamma $. Wykazać, że $ OP=OQ $.

L MOM - Zadanie 1

Dana jest dodatnia liczba całkowita $ n $ oraz parami różne liczby całkowite $ a_1,\dots,a_k $ ($ k\geq2 $), będące elementami zbioru $ \{1,\dots,n\} $. Ponadto, dla każdego $ i=1,\dots,k-1 $, liczba $ n $ jest dzielnikiem liczby $ a_i(a_{i+1}-1) $. Udowodnić, że $ n $ nie jest dzielnikiem liczby $ a_k(a_1-1) $.

L MOM

Zadania z L Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej.

ZałącznikWielkość
L MOM - Zadania z rozwiązaniami196.18 KB

XLVIII MOM - Zadanie 6

Niech $ n $ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy

\[<br />
S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\,x+y+z>0\}<br />
\]

jako zbiór $ (n+1)^3-1 $ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $ S $, ale nie zawiera punktu $ (0,0,0) $.

XLVIII MOM - Zadanie 5

Niech $ a $ oraz $ b $ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Dowieść, że jeśli liczba $ (4a^2-1)^2 $ jest podzielna przez $ 4ab-1 $, to $ a=b $.

Subskrybuje zawartość