1960-1969

XI OM - III - Zadanie 6

Na obwodzie prostokąta obrano punkt $ M $. Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $ M $ i która ma z każdym bokiem prostokąta jakiś punkt wspólny.

XI OM - III - Zadanie 5

Z cyfr $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $, $ 6 $, $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $ utworzono wszystkie możliwe liczby czterocyfrowe o cyfrach różnych. Znaleźć sumę tych liczb.

XI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie

\[<br />
(1) \qquad x^4 + ax + b = 0<br />
\]

ma dwa równe pierwiastki, to

\[<br />
(2) \qquad<br />
\left( \frac{a}{4} \right)^4 =<br />
\left( \frac{b}{3} \right)^3.<br />
\]

XI OM - III - Zadanie 3

Na okręgu obrano 6 różnych punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ w ten sposób, że $ AB $ jest równolegle do $ DE $, a $ DC $ jest równolegle do $ AF $. Dowieść, że $ BC $ jest równoległe do $ EF $.

XI OM - III - Zadanie 2

Przez wysokość czworościanu foremnego poprowadzono płaszczyznę, która przecina płaszczyzny ścian bocznych wzdłuż $ 3 $ prostych tworzących z płaszczyzną podstawy czworościanu kąty $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $. Dowieść, że

\[<br />
(1) \qquad \tg^2 \alpha + \tg^2 \beta + \tg^2 \gamma =12.<br />
\]

XI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą całkowitą większą od $ 4 $, to $ 2^n $ jest większe, od $ n^2 $.

XI OM - II - Zadanie 6

Obliczyć objętość czworościanu $ ABCD $ mając dane krawędzie $ AB = b $, $ AC = c $, $ AD = d $ oraz kąty $ \measuredangle CAD = \beta $, $ \measuredangle DAB = \gamma $ i $ \measuredangle BAC = \delta $.

XI OM - II - Zadanie 5

Dane są na prostej trzy różne punkty $ A $, $ B $, $ C $ i punkt $ S $ poza tą prostą; prostopadle poprowadzone w punktach $ A $, $ B $, $ C $ do prostych $ SA $, $ SB $, $ SC $ przecinają się w punktach $ M $, $ N $, $ P $. Dowieść, że punkty $ M $, $ N $, $ P $, $ S $ leżą na okręgu.

XI OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

\[<br />
2^{n+2} + 3^{2n+1}<br />
\]

jest podzielna przez $ 7 $.

XI OM - II - Zadanie 3

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku $ O $ i punkt $ A $. Zbudować okrąg o środku $ A $ przecinający okręgi dane w takich punktach $ M $ i $ N $, żeby prosta $ MN $ przechodziła przez punkt $ O $.

Subskrybuje zawartość