Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich

Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich

Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich

Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich (ZMPB) odbywają się od 1990 roku. Polska uczestniczy w nich od 1992 roku. Obecnie w ZMPB bierze udział po pięciu uczniów z następujących państw: Danii, Estonii, Finlandii, Islandii, Litwy, Łotwy, Niemiec, Norwegii, Polski, Szwecji oraz miasta Petersburg.

Zawody trwają jeden dzień i maja charakter drużynowy. Uczniowie każdej drużyny wspólnie rozwiązują 20 zadań, na co mają 4,5 godziny. Na ZMPB Komitet Główny powołuje uczniów, którzy zajęli miejsca poniżej szóstego na zawodach trzeciego stopnia Olimpiady Matematycznej oraz nie są jeszcze uczniami klasy maturalnej. Uczniowie powołani na ZMPB uczestniczą w obozie przygotowawczym.

XVIII ZMPB - Zadanie 20

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $ b<a $ oraz liczba $ a^3+b^3+ab $ jest podzielna przez $ ab(a-b) $. Udowodnić, że $ ab $ jest sześcianem liczby całkowitej.

XVIII ZMPB - Zadanie 19

Dane są dodatnie liczby całkowite $ r $ i $ k $. Wszystkie dzielniki pierwsze liczby $ r $ są większe od 50.

Dodatnią liczbę całkowitą, której zapis dziesiętny (bez zer początkowych) ma co najmniej $ k $ cyfr, nazwiemy ładną, jeżeli każdy ciąg $ k $ kolejnych cyfr tego zapisu przedstawia liczbę (być może z zerami początkowymi) podzielną przez $ r $.

Dowieść, że jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb ładnych, to liczba $ 10^k-1 $ też jest ładna.

XVIII ZMPB - Zadanie 18

Niech $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ będą takimi liczbami całkowitymi różnymi od zera, że jedyną czwórką liczb całkowitych $ (x,y,z,t) $ spełniającą równanie

\[<br />
ax^2+by^2+cz^2+dt^2=0<br />
\]

jest $ x=y=z=t=0 $. Czy wynika stąd, że liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ mają jednakowy znak?

XVIII ZMPB - Zadanie 17

Niech $ x $, $ y $, $ z $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

\[<br />
{x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}<br />
\]

jest całkowita. Niech $ d $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $, $ y $ oraz $ z $. Udowodnić, że

\[<br />
d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}.<br />
\]

XVIII ZMPB - Zadanie 16

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi liczbami wymiernymi, że

\[<br />
s=a+b=a^2+b^2.<br />
\]

Wykazać, że liczbę $ s $ można zapisać w postaci ułamka, którego mianownik jest względnie pierwszy z liczbą 6.

XVIII ZMPB - Zadanie 15

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boku $ AC $ w punkcie $ D $. Inny okrąg przechodzi przez punkt $ D $ i jest styczny do półprostych $ BC $ i $ BA $ - do drugiej z nich w punkcie $ A $. Obliczyć stosunek $ AD/DC $.

XVIII ZMPB - Zadanie 14

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ zachodzi równość $ \measuredangle ADC=90^\circ $. Punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ B $ odpowiednio na proste $ AD $ i $ AC $. Załóżmy, że punkt $ F $ leży między $ A $ i $ C $, punkt $ A $ leży między $ D $ i $ E $, zaś prosta $ EF $ przechodzi przez środek odcinka $ BD $. Dowieść, że na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

XVIII ZMPB - Zadanie 13

Niech $ t_1 $, $ t_2 $, $ \ldots $, $ t_k $ będą różnymi prostymi w przestrzeni ($ k>1 $). Udowodnić, że istnieją takie punkty $ P_i $ na $ t_i $ ($ i=1,2,\ldots,k $), że $ P_{i+1} $ jest rzutem prostokątnym $ P_i $ na prostą $ t_{i+1} $ ($ i=1,2,\ldots,k-1 $), a $ P_1 $ jest rzutem prostokątnym $ P_k $ na prostą $ t_1 $.}

XVIII ZMPB - Zadanie 12

Punkt $ M $ leży na tym łuku $ AB $ okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, który nie zawiera punktu $ C $. Załóżmy, że rzuty prostokątne punktu $ M $ na proste $ AB $ i $ BC $ leżą na samych bokach, a nie na ich przedłużeniach. Oznaczmy te rzuty odpowiednio przez $ X $ i $ Y $. Niech $ K $ i $ N $ będą odpowiednio środkami odcinków $ AC $ i $ XY $. Dowieść, że $ \measuredangle MNK=90^\circ $.

Subskrybuje zawartość