Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne

Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne

Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne

Czesko–Polsko–Słowackie Zawody Matematyczne te mają charakter nieoficjalny i stanowią formę treningu dla zawodników
biorących udział w Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej. Formuła
zawodów jest taka sama, jak w przypadku MOM: w ciagu dwóch
dni zawodnicy rozwiązują sześć zadań — po trzy zadania podczas 4, 5 godziny każdego z dwóch dni.

IX CPS - Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita $ n\geq 16 $. Rozważmy zbiór

\[<br />
G=\left\{(x,y)\colon x,y\in\{1,2,\dots,n\}\right\},<br />
\]

składający się z $ n^2 $ punktów płaszczyzny. Niech $ A $ będzie dowolnym podzbiorem $ G $, zawierającym co najmniej $ 4n\sqrt{n} $ punktów. Udowodnić, że istnieje co najmniej $ n^2 $ czworokątów wypukłych, o wierzchołkach w zbiorze $ A $, takich że przekątne każdego z nich przechodzą przez jeden ustalony punkt płaszczyzny.

IX CPS - Zadanie 5

Liczby całkowite dodatnie $ a_1,a_2,\dots,a_n $ spełniają następujące warunki:

  1. $ 1\leq a_1<a_2<\dots<a_n\leq50 $;

  2. dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich $ b_1,b_2,\dots,b_n $ istnieje taka liczba całkowita dodatnia $ m $ oraz liczby całkowite dodatnie $ c_1,c_2,\dots,c_n $, że

    \[<br />
mb_i=(c_i)^{a_i}\text{ dla }i=1,2,\dots,n.<br />
\]

Wykazać, że $ n\leq16 $ oraz wyznaczyć liczbę różnych ciągów $ (a_1,a_2,\dots,a_n) $ spełniających powyższe warunki dla $ n=16 $.

IX CPS - Zadanie 4

Dany jest okrąg $ k $ i jego cięciwa $ AB $, nie będąca średnicą. Niech $ C $ będzie dowolnym punktem na dłuższym łuku $ AB $ okręgu $ k $. Oznaczmy przez $ K,L $ odbicia punktów $ A,B $ względem prostych odpowiednio $ BC,AC $. Udowodnić, że odległość między środkami odcinków $ AB $ i $ KL $ nie zależy od wyboru punktu $ C $.

IX CPS - Zadanie 3

Niech $ k $ będzie okręgiem dopisanym do trójkąta $ ABC $, stycznym do boku $ BC $. Wybierzmy prostą $ p $ równoległą do $ BC $, przecinającą odcinki $ AB,AC $ w punktach odpowiednio $ D,E $. Oznaczmy przez $ l $ okrąg wpisany w trójkąt $ ADE $. Styczne do okręgu $ k $ przechodzące przez punkty $ D,E $ i nie zawierające punktu $ A $ przecinają się w punkcie $ P $. Styczne do okręgu $ l $ przechodzące przez punkty $ B,C $ i nie zawierające punktu $ A $ przecinają się w punkcie $ Q $. Dowieść, że prosta $ PQ $ przechodzi przez pewien ustalony punkt, niezależny od wyboru prostej $ p $.

IX CPS - Zadanie 2

Niech $ a,k $ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Ciąg $ (a_n)_{n=1}^\infty $ definiujemy następująco:

\[<br />
a_1=a\quad\text{oraz}\quad a_{n+1}=a_n+k\varrho(a_n),\quad\text{dla }n=1,2,\dots,<br />
\]

gdzie $ \varrho(m) $ oznacza iloczyn cyfr liczby $ m $ w zapisie dziesiętnym (np. $ \varrho(413)=12 $, $ \varrho(308)=0 $). Udowodnić, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $ a $ i $ k $, że ciąg $ (a_n)_{n=1}^\infty $ przyjmuje dokładnie 2009 różnych wartości.

IX CPS - Zadanie 1

Niech $ \mathbb R_+ $ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Znaleźć wszystkie funkcje $ f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+ $, spełniające dla dowolnych $ x,y\in\mathbb R_+ $ zależność

\[<br />
(1+yf(x))(1-yf(x+y))=1.<br />
\]

IX CPS

Zadania z IX Czesko-Polsko-Słowackich Zawodów Matematycznych

ZałącznikWielkość
IX CPS - Zadania z rozwiązaniami175.22 KB
Subskrybuje zawartość