2008-2009

III MEMO - Zadanie 10

Czworokąt $ ABCD $ wpisany jest w okrąg, przy czym $ CD=DA $. Na odcinkach $ AB $ i $ BC $ wybrano punkty odpowiednio $ E $ i $ F $, dla których $ \measuredangle ADC=2\measuredangle EDF $. Odcinek $ DK $ jest wysokością trójkąta $ DEF $, zaś $ DM $ jego środkową. Punkt $ L $ jest symetryczny do $ K $ względem $ M $. Wykazać, że proste $ DM $ oraz $ BL $ są równoległe.

III MEMO - Zadanie 9

Niech $ ABCD $ będzie równoległobokiem, w którym $ \measuredangle BAD=60^\circ $. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie $ E $. Okrąg opisany na trójkącie $ ACD $ przecina po raz drugi proste $ BA $, $ BD $, $ BC $ w punktach odpowiednio $ K $, $ P $, $ L $. Prosta $ EP $ przecina okrąg opisany na trójkącie $ CEL $ w punkcie $ M\neq E $. Udowodnić, że trójkąty $ KLM $ i $ CAP $ są przystające.

III MEMO - Zadanie 8

Każde z pól szachownicy o wymiarach $ 2009\times 2009 $ kolorujemy jednym z $ n $ kolorów (nie każdy kolor musi być wykorzystany). Mówimy, że kolor jest spójny, jeżeli dla dowolnych dwóch pól tego koloru można za pomocą ciągu ruchów przeprowadzić hetmana z jednego pola na drugie, stawiając go jedynie na polach w tym kolorze. W szczególności, jeśli pewnym kolorem pomalowano tylko jedno pole, to również jest on spójny. Wyznaczyć największą liczbę $ n $, dla której przy dowolnym kolorowaniu szachownicy co najmniej jeden z kolorów jest spójny.

Uwaga: Ruch hetmanem polega na przesunięciu go o dowolną liczbę pól w pionie, poziomie lub po skosie.

III MEMO - Zadanie 7

Na tablicy napisano liczby $ 0,1,2,\dots,n $ ($ n\geq2 $). W każdym kroku wymazujemy liczbę będącą średnią arytmetyczną dwóch różnych, jeszcze nie wymazanych liczb. Postępowanie to kontynuujemy tak długo, jak jest to możliwe. Niech $ g(n) $ będzie najmniejszą możliwą ilością liczb pozostawionych na tablicy. Wyznaczyć $ g(n) $ w zależności od $ n $.

III MEMO - Zadanie 6

Liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $ posiadają tę własność, że dla każdych dwóch spośród równań

\[<br />
x^2+ax+b=0,\quad x^2+bx+c=0,\quad x^2+cx+a=0<br />
\]

istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista będąca rozwiązaniem ich obu. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia $ a^2+b^2+c^2 $.

III MEMO - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, $ z $, spełniające zależność $ x^2+y^2+z^2+9 = 4(x+y+z) $. Dowieść, że

\[<br />
(1) \qquad<br />
x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2)\geq8(x^3+y^3+z^3)+27<br />
\]

oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

III MEMO - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ k\geq2 $ o następującej własności: liczba $ n^{n-1}-m^{m-1} $ nie jest podzielna przez $ k $ dla żadnej pary $ (m,n) $ różnych liczb całkowitych dodatnich, mniejszych lub równych $ k $.

III MEMO - Zadanie 3

Niech $ ABCD $ będzie czworokątem wypukłym, w którym $ AB=CD $ oraz proste $ AB $ i $ CD $ nie są równoległe. Punkty $ E $ i $ F $ są środkami przekątnych $ AC $ i $ BD $. Prosta $ EF $ przecina odcinki $ AB $ i $ CD $ odpowiednio w punktach $ G $ i $ H $. Udowodnić, że $ \measuredangle AGH=\measuredangle DHG $.

Subskrybuje zawartość