2007-2008

LIX OM - III -Zadanie 6

Niech $ S $ będzie zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które można przedstawić w postaci $ a^2 +5b^2 $
dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych $ a $ i $ b $. Niech ponadto $ p $ będzie liczbą pierwszą dającą resztę
3 z dzielenia przez 4. Wykazać, że jeżeli pewna dodatnia wielokrotność liczby $ p $ należy do zbioru $ S $, to również liczba
$ 2p $ należy do zbioru $ S $.

LIX OM - III -Zadanie 5

Pola wszystkich przekrojów równoległościanu $ \mathcal{R} $ płaszczyznami przechodzącymi przez środki trzech jego krawędzi,
z których żadne dwie nie są równoległe i nie mają punktów wspólnych, są równe. Udowodnić, że równoległościan
$ \mathcal{R} $ jest prostopadłościanem.

LIX OM - III -Zadanie 4

Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano na biało albo na czarno. Dowieść, że ze zbioru w
szystkich pomalowanych punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i którego wszystkie punkty
mają ten sam kolor.

LIX OM - III -Zadanie 3

W pięciokącie wypukłym $ ABCDE $, w którym $ BC = DE $, zachodzą równości

\[<br />
\measuredangle ABE = \measuredangle  CAB = \measuredangle  AED - 90^{\circ} \text{ oraz }\measuredangle ACB = \measuredangle  ADE.<br />
\]

Dowieść, że czworokąt $ BCDE $ jest równoległobokiem.

LIX OM - III -Zadanie 2

Funkcja $ f(x, y, z) $ trzech zmiennych rzeczywistych spełnia dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c, d, e  $zależność

\[<br />
f (a, b, c)+f (b, c, d)+f (c, d, e)+f (d, e, a)+f (e, a, b)= a +b + c +d +e.<br />
\]

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \dots, x_n $ ($ n \geqslant 5 $) prawdziwa jest równość

\[<br />
f(x_1 ,x_2 ,x_3 )+f(x_2 ,x_3 ,x_4 )+\dots +f(x_n ,x_1 ,x_2 )= x_1 +x_2 + \dots +x_n .<br />
\]

LIX OM - III -Zadanie 1

W pola tablicy rozmiaru $ n \times n $ wpisane są liczby $ 1, 2, \dots , n^2 $ , przy czym liczby $ 1, 2, \dots , n $ znajdują
się w pierwszym wierszu (od strony lewej do prawej), liczby $ n +1, n +2, \dots ,2n $ w drugim, itd.

Wybrano $ n $ pól tablicy, z których żadne dwa nie leżą w jednym wierszu ani w jednej kolumnie. Niech $ a_i $ będzie liczbą
znajdującą się w tym wybranym polu, które leży w wierszu o numerze $ i $. Dowieść, że

\[<br />
\frac{1^2}{a_1} + \frac{2^2}{a_2} + \dots + \frac{n^2}{a_n} \geqslant \frac{n+2}{2} - \frac{1}{n^2+1}<br />
\]

LIX OM - II -Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita dodatnia $ n $ niepodzielna przez 3. Udowodnić, że istnieje liczba $ m $ o następującej własności:
Każda liczba całkowita nie mniejsza niż $ m $ jest sumą cyfr pewnej wielokrotności liczby $ n $.

LIX OM - II -Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ ABC $, w którym $ AC = BC $. Punkt $ D $ leży na boku $ AB $ tego trójkąta, przy czym $ AD < BD $. Punkt
$ E $ jest symetryczny do punktu $ A $ względem prostej $ CD $. Wykazać, że

\[<br />
\frac{AC}{CD} = \frac{BE}{BD-AD}<br />
\]

LIX OM - II -Zadanie 4

W każdym polu kwadratowej tablicy o rozmiarach $ n \times n $ napisana jest liczba całkowita. Możemy wielokrotnie
wykonywać następującą operację: Wybieramy dowolne pole tabeli i zmniejszamy wpisaną weń liczbę o liczbę pól sąsiednich
(mających wspólny bok z wybranym polem), zaś każdą z liczb wpisanych w pola sąsiednie zwiększamy o 1.

Dla każdej liczby całkowitej $ n \geqslant 2 $ rozstrzygnąć, czy z dowolnej początkowej tabeli, w której suma wszystkich
$ n^2 $ liczb jest równa zeru, można otrzymać tabelę składającą się z samych zer.

LIX OM - II -Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f $, określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące
wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $ zachodzi równość

\[<br />
(1)\qquad f(f(x)-y)= f(x)+f(f(y)-f(-x))+x.<br />
\]
Subskrybuje zawartość