2005-2006

LVII OM - III - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $ a $, $ b $, dla których istnieje taki wielomian $ P(x) $ o współczynnikach całkowitych, że iloczyn $ (x^2 + ax + b)\cdot P(x) $ jest wielomianem postaci

\[<br />
x^n +c_{n-1}x + \dots + c_1x + c_0,<br />
\]

gdzie każda z liczb $ c_0,c_1,\dots ,c_{n-1} $ jest równa 1 lub -1.

LVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest czworościan $ ABCD $, w którym $ AB = CD $. Sfera wpisana w ten czworościan jest styczna do ścian $ ABC $ i $ ABD $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Dowieść, że jeżeli punkty $ K $ i $ L $ są środkami ciężkości ścian $ ABC $ i $ ABD $, to czworościan $ ABCD $ jest foremny.

LVII OM - III - Zadanie 4

Na trójce liczb wykonujemy następującą operację. Wybieramy dwie spośród tych liczb i zastępujemy je ich sumą oraz ich iloczynem, pozostała liczba nie ulega zmianie. Rozstrzygnąć, czy rozpoczynając od trójki (3,4,5) i wykonując tę operację możemy ponownie uzyskać trójkę liczb będących długościami boków trójkąta prostokątnego.

LVII OM - III - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt wypukły $ ABCDEF $, w którym $ AC = DF $, $ CE = FB $ oraz $ EA = BD $. Dowieść, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie.

LVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $ k $, dla których liczba $ 3^k+5^k $ jest potęgą liczby całkowitej o wykładniku naturalnym większym od 1.

LVII OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza $ p $ oraz liczba całkowita $ n $, przy czym $ p \geq n \geq 3 $. Zbiór $ A $ składa się z $ n $-wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru $ \{0,1,2,\dots ,p-1\} $ i ma następującą własność:

Dla dowolnych dwóch ciągów $ (x_1,x_2,\dots ,x_n) $ oraz $ (y_1,y_2,\dots ,y_n) $ ze zbioru $ A $ istnieją takie różne liczby
$ k, l, m $, że

\[<br />
x_k\neq y_k,\quad x_l\neq y_l,\quad x_m\neq y_m.<br />
\]

Wyznaczyć największą możliwą liczbę elementów zbioru $ A $.

LVII OM - II - Zadanie 5

Punkt $ C $ jest środkiem odcinka $ AB $. Okrąg $ o_1 $ przechodzący przez punkty $ A $ i $ C $ przecina okrąg $ o_2 $ przechodzący
przez punkty $ B $ i $ C $ w różnych punktach $ C $ i $ D $. Punkt $ P $ jest środkiem tego łuku $ AD $ okręgu $ o_1 $, który nie zawiera
punktu $ C $. Punkt $ Q $ jest środkiem tego łuku $ BD $ okręgu $ o_2 $, który nie zawiera punktu $ C $. Dowieść, że proste $ PQ $ i $ CD $
są prostopadłe.

LVII OM - II - Zadanie 4

Niech $ c $ będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg $ (a_n) $ jest określony przez warunki

\[<br />
a_1 =1,\;a_{n+1} = d(a_n)+c \text{ dla } n =1,2,\dots,<br />
\]

gdzie $ d(m) $ oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby $ m $. Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia $ k $,
że ciąg $ a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots $ jest okresowy.

Subskrybuje zawartość