Ciągi

VI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wzór wyrażający sumę

\[<br />
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n}<br />
\]

w zależności od $ n $.

VIII OM - I - Zadanie 2

Znaleźć wzór na sumę czwartych potęg kolejnych liczb całkowitych od $ 1 $ do $ n $.

IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ k $ jest liczbą naturalną, to

\[<br />
(1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) =<br />
1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną zależną od $ k $; wyznaczyć $ m $.

X OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie, umieszczono $ n \geq 3 $ odcinków w ten sposób, że każde $ 3 $ z nich mają punkt wspólny. Dowieść, że istnieje punkt wspólny wszystkich odcinków.

X OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg liczb $ 13, 25, 43, \ldots $ którego $ n $-ty wyraz jest określony wzorem

\[<br />
a_n =3(n^2 + n) + 7.<br />
\]

Dowieść, że ciąg ten ma następujące własności:

1° Wśród każdych pięciu kolejnych wyrazów ciągu dokładnie jeden jest podzielny przez $ 5 $,

2° Żaden wyraz ciągu nie jest sześcianem liczby całkowitej.

X OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, to

\[<br />
\left( 1 - \frac{1}{4} \right)<br />
\left( 1 - \frac{1}{9} \right)<br />
\left( 1 - \frac{1}{16} \right)<br />
\ldots<br />
\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) =<br />
\frac{n+1}{2n}.<br />
\]

XI OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a $ i $ b $ nie są obie równe zeru, to dla każdego naturalnego $ n $

\[<br />
(1) \qquad a^{2n} + a^{2n-1}b + a^{2n-2} b^2 + \ldots + ab^{2n-1} + b^{2n} > 0.<br />
\]

XI OM - I - Zadanie 10

Znaleźć wzór wyrażający iloczyn

\[<br />
\left( 1 - \frac{4}{1} \right)<br />
\left( 1 - \frac{4}{9} \right)<br />
\left( 1 - \frac{4}{25} \right)<br />
\ldots<br />
\left( 1 - \frac{4}{(2n-1)^2} \right)<br />
\]

w zależności od $ n $.

XIII OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby $ a_1, a_2,\ldots, a_n $ ($ n $ - liczba naturalna $ \geq 2 $) tworzą postęp arytmetyczny, a żadna z nich nie jest zerem, to

\[<br />
(1) \qquad  \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}.<br />
\]
Subskrybuje zawartość