Funkcje i ich własności

IV OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli $ A + B + C $ lub $ A + B - C $ lub $ A - B + C $ lub $ A - B - C $ równa się nieparzystej ilości kątów półpełnych, to $ \cos^2A + \cos^2B + \cos^2C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1 $ i że prawdziwe jest twierdzenie odwrotne.

IX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunki

\[<br />
ac - bd \ne 0 \textrm{ i }  (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0,<br />
\]

to funkcja

\[<br />
(1) \qquad y = \frac{(ax + b) (cx + d)}{(bx + a) (dx + c)}<br />
\]

przybiera wszystkie wartości rzeczywiste.

XX OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_n $, z których każde dwie są różne. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem

\[<br />
(1) \qquad y = |x-a_1| + |x-a_2| + \ldots + |x-a_n|<br />
\]

XXI OM - III -Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą $ A $ taką, że dla każdego trójmianu kwadratowego $ f(x) $ spełniającego warunek

\[<br />
(1) \qquad |f(x)| \leq 1 \quad \text{dla}\quad    0 \leq x \leq 1<br />
\]

zachodzi nierówność $ f'(0) \leq A $.

XXII OM - I - Zadanie 6

Niech $ f(x,y,z) = \max(x^2 — yz, y^2 — xz, z^2 — xy) $. Znaleźć zbiór wartości funkcji $ f(x,y,z) $ rozpatrywanej dla liczb $ x,y,z $ spełniających warunki:

\[<br />
(1) \qquad x^2 + y^2 + z^2 = 5, \; yz + zx + xy = 2, \; x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.<br />
\]

Uwaga: $ \max (a, b, c) $ jest to największa z liczb $ a, b, c $.

XXIII OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że istnieje funkcja $ f $ określona i różniczkowalna w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, spełniająca warunki

\[<br />
\begin{split}<br />
|f'(x) - f'(y)| \leq 4|x-y|<br />
\end{split}<br />
\]
Subskrybuje zawartość