Kombinatoryka i logika

VIII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że:

1) $ n $ prostych leżących na płaszczyźnie, z których każde dwie przecinają się, ale żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli płaszczyznę na $ \frac{1}{2} (n^2 + n + 2) $ części;

2) $ n $ płaszczyzn, z których każde trzy mają jeden i tylko jeden punkt wspólny, ale żadne cztery nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli przestrzeń na $ \frac{1}{6} (n^3 + 5n + 6) $ części.

XI OM - III - Zadanie 5

Z cyfr $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $, $ 6 $, $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $ utworzono wszystkie możliwe liczby czterocyfrowe o cyfrach różnych. Znaleźć sumę tych liczb.

XII OM - III - Zadanie 6

Ktoś napisał sześć listów do sześciu osób i zaadresował do nich sześć kopert. Iloma sposobami można listy tak włożyć do kopert, żeby żaden list nie trafił do właściwej koperty?

XII OM - I - Zadanie 1

Narysowano $ k $ prostych równoległych i przecięto je $ n $ prostymi równoległymi. Ile powstało równoległoboków?

XIII OM - III - Zadanie 4

Iloma sposobami można zbiór $ n $ przedmiotów podzielić na dwa zbiory?

XVI OM - III - Zadanie 3

Na okręgu obrano $ n > 2 $ punktów i każdy z nich połączono odcinkiem z każdym innym. Czy można wykreślić wszystkie te odcinki jednym ciągiem, tzn. tak, żeby koniec pierwszego odcinka był początkiem drugiego, koniec drugiego - początkiem trzeciego itd., i żeby przy tym koniec ostatniego odcinka był początkiem pierwszego?

XVI OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od 5 liczbę kwadratów, ale nie można go podzielić na 5 kwadratów.

XVI OM - I - Zadanie 4

Szkoła urządziła trzy wycieczki dla swych 300 uczniów. W każdej wycieczce wzięła udział ta sama liczba uczniów. Każdy uczeń pojechał przynajmniej na jedną wycieczkę, ale połowa uczestników pierwszej, trzecia część uczestników drugiej i czwarta część uczestników trzeciej wycieczki była tylko na jednej wycieczce.
Ilu uczniów pojechało na każdą wycieczkę ? Ilu uczestników pierwszej wycieczki wzięło udział w drugiej a ilu z nich brało nadto udział w trzeciej wycieczce ?

XVII OM - II - Zadanie 3

Na płaszczyźnie obrano 6 punktów, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej i wykreślono wszystkie odcinki łączące parami te punkty. Niektóre z odcinków wykreślono przy tym kolorem czerwonym, a inne niebieskim. Dowieść, że któreś trzy z danych punktów są wierzchołkami trójkąta o bokach jednego koloru.

XVIII OM - III - Zadanie 3

Na sali znajduje się 100 osób, z których każda zna co najmniej 67 innych. Dowieść, że jest na tej sali taka czwórka osób, w której każde dwie osoby się znają. Zakładamy, że jeśli osoba $ A $ zna osobę $ B $, to również osoba $ B $ zna osobę $ A $.

Subskrybuje zawartość