Liczby całkowite

II OM - III - Zadanie 2

Jakie cyfry należy umieścić zamiast zer na trzecim i piątym miejscu w liczbie $ 3000003 $, aby otrzymać liczbę podzielną przez $ 13 $?

II OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $ n $ jest liczbą naturalną parzystą, to liczba $ 13^n + 6 $ jest podzielna przez $ 7 $.

II OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

III OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że żadna z cyfr $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 9 $ nie może być ostatnią cyfrą liczby

\[<br />
1 + 2 + 3 + \ldots + n,<br />
\]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

III OM - I - Zadanie 7

Niech $ a $, $ b $ oznaczają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $ c $ - jego przeciwprostokątną, $ r $ - promień koła wpisanego, wreszcie $ r_a $, $ r_b $, $ r_c $ - promienie kół dopisanych tego trójkąta. Dowieść, że:

1) $ r + r_a + r_b = r_c $

2) promienie $ r $, $ r_a $, $ r_b $, $ r_c $ wyrażają się jednocześnie liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki $ a $, $ b $, $ c $ są wyrażone liczbami całkowitymi.

IV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1},<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną.

IV OM - II - Zadanie 1

Ułożono tablicę

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
1 & = & 1 \\<br />
2 + 3 + 4 & = & 1 + 8 \\<br />
5 + 6 + 7 + 8 + 9 & = & 8 + 27\\<br />
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 & = & 27 + 64\\<br />
 & \ldots &<br />
\end{array}<br />
\]

Napisać taki wzór na $ n $-ty wiersz tablicy, który by przy podstawieniach $ n = 1, 2, 3, 4 $ dawał powyższe cztery wiersze tablicy i był prawdziwy dla każdego naturalnego $ n $.

V OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że wśród dziesięciu kolejnych liczb naturalnych znajduje się zawsze co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $.

V OM - I - Zadanie 2

Zbadać, kiedy suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $ 18 $.

Subskrybuje zawartość