Liczby rzeczywiste

II OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że równanie

\[<br />
\frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} = 1,<br />
\]

gdzie $ m \ne 0 $, $ n \ne 0 $, $ a \ne b $, ma pierwiastki rzeczywiste ($ m $, $ n $, $ a $, $ b $ oznaczają liczby rzeczywiste).

III OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli kąty $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad \cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1,<br />
\]

to jeden z tych kątów równa się $ 120^\circ $.

III OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} = \frac{1}{ab + bc + ca},<br />
\]

to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi.

III OM - I - Zadanie 3

Wykazać, że jeżeli

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{a-b}{1+ab} + \frac{b-c}{1+bc} + \frac{c-a}{1+ca} = 0,<br />
\]

to co najmniej dwie spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ są równe.

IV OM - III - Zadanie 6

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $ \alpha $, $ \beta $ i $ \gamma $, gdy spełniona jest równość

\[<br />
(1) \qquad \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma?<br />
\]
Subskrybuje zawartość