Nierówności

II OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli suma liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $ jest równa $ 1 $, to

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9.<br />
\]

III OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że w każdym trójkącie promień $ R $ koła opisanego i promień $ r $ koła wpisanego spełniają nierówność

\[<br />
R \geq 2r.<br />
\]

IV OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą całkowitą wiekszą od $ 2 $, to

\[<br />
2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!.<br />
\]

V OM - III - Zadanie 4

Znaleźć wartości $ x $ spełniające nierówność

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{x} - \sqrt{x- a} > 2,<br />
\]

gdzie $ a $ jest daną liczbą dodatnią.

V OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ są kątami zawartymi między $ 0^\circ $ i $ 180^\circ $, a $ n $ jest dowolną liczbą naturalną większą niż $ 1 $, to

\[<br />
(1) \qquad<br />
\sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n.<br />
\]

VII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że liczby $ A $, $ B $, $ C $ określone wzorami

\[<br />
A = \tg \beta \tg \gamma + 5,\<br />
B = \tg \gamma \tg \alpha + 5,\<br />
C = \tg \alpha \tg \beta + 5,<br />
\]

gdzie $ \alpha>0 $, $ \beta > 0 $, $ \gamma > 0 $ i $ \alpha + \beta + \gamma = 90^\circ $, spełniają nierówność

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} < 4 \sqrt{3}.<br />
\]
Subskrybuje zawartość