Planimetria

II OM - III - Zadanie 6

Dany jest okrąg oraz odcinek $ MN $. Znaleźć na okręgu taki punkt $ C $, żeby trójkąt $ ABC $, gdzie $ A $ i $ B $ są punktami przecięcia prostych $ MC $ i $ NC $ z okręgiem, był podobny do trójkąta $ MNC $.

II OM - III - Zadanie 5

W okrąg wpisano czworokąt $ ABCD $. Proste $ AB $ i $ CD $ przecinają się w punkcie $ E $, a proste $ AD $ i $ BC $ - w punkcie $ F $. Dwusieczna kąta $ AEC $ przecina bok $ BC $ w punkcie $ M $ i bok $ AD $ w punkcie $ N $; a dwusieczna kąta $ BFD $ przecina bok $ AB $ w punkcie $ P $ i bok $ CD $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że czworokąt $ MPNQ $ jest rombem.

II OM - II - Zadanie 6

Dane są punkty $ A $ i $ B $ oraz okrąg $ k $. Wykreślić okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ i wyznaczający w przecięciu z okręgiem $ k $ wspólną cięciwę o danej długości $ d $.

II OM - II - Zadanie 5

Wykazać, że jeżeli między bokami i przeciwległymi kątami $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABC $ zachodzi związek

\[<br />
(1) \qquad (a^2 + b^2) \sin (A - B) = (a^2 - b^2) \sin (A + B),<br />
\]

to taki trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.

II OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ ABC $ na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ obrano odpowiednio punkty $ D $, $ E $, $ F $ w taki sposób, że

\[<br />
BD \colon DC = CE \colon EA = AF \colon FB = k,<br />
\]

gdzie $ k $ jest daną liczbą dodatnią. Mając dane pole $ S $ trójkąta $ ABC $ obliczyć pole trójkąta $ DEF $.

II OM - I - Zadanie 11

W dany kwadrat wpisać taki kwadrat, którego jeden bok lub jego przedłużenie przechodzi przez dany punkt $ K $.

II OM - I - Zadanie 10

Na trójkącie $ ABC $ opisano okrąg. Znając promień $ R $ tego okręgu obliczyć promień okręgu przechodzącego przez środki trzech okręgów dopisanych (zawpisanych) trójkąta $ ABC $.

II OM - I - Zadanie 8

Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków o danej długości $ a $, których końce leżą na dwóch prostych wzajemnie prostopadłych (przecinających się lub skośnych).

II OM - I - Zadanie 7

Dany jest okrąg $ C $ oraz punkty $ A $ i $ B $ leżące w nierównych odległościach od środka tego okręgu. Dowieść, że wspólne cięciwy okręgu $ C $ z okręgami przechodzącymi przez punkty $ A $ i $ B $ leżą na prostych mających jeden punkt wspólny.

II OM - I - Zadanie 3

W kole poprowadzono dwie równe cięciwy $ AB $ i $ AC $ oraz dowolną cięciwę $ AD $; prosta $ AD $ przecina prostą $ BC $ w pwnkcie $ E $. Dowieść, że iloczyn $ AE \cdot AD $ nie zależy od położenia punktu $ D $ na okręgu, tj. że $ AE \cdot AD = AC^2 $.

Subskrybuje zawartość