Rachunek prawdopodobieństwa

XXII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy $ 2n $ razy monetą. Niech $ p_n $ oznacza prawdopodobieństwo, że otrzymamy serię o długości $ r > n $. Udowodnić, że $ \lim p_n = 0 $.

XXIV OM - III - Zadanie 2

Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem, że w ciągu $ n $ rzutów monetą pojawi się seria kolejnych 100 orłów. Dowieść, że ciąg liczb $ p_n $ jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

XXIV OM - I - Zadanie 12

W klasie, w której jest n uczniów, urządzono mikołajki. Każdy uczeń losuje nazwisko osoby, której ma kupić prezent, zatem uczeń $ A_1 $ kupuje prezent uczniowi $ A_2 $, $ A_2 $ kupuje prezent $ A_3 $, ..., $ A_k $ kupuje prezent $ A_1 $, gdzie $ 1 \leq k \leq n $. Zakładając, że wszystkie wyniki losowań są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $ k = n $.

XXV OM - III - Zadanie 2

Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi $ p > 0 $, a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi $ q > 0 $. Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ze łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w $ n $ próbach pod warunkiem, że w $ n $ próbach nie pokona obu wodospadów.

XXV - I - Zadanie 11

Niech $ X_n $ i $ Y_n $ bądą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie $ \left{ \left(\frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n}\right) : k = 0, 1, \ldots, 2^n-1\right} $. Oznaczmy przez $ p_n $ prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista $ t $ spełniająca równanie $ t^2 + X_n \cdot t + Y_n = 0 $. Obliczyć $ \lim_{n\to\infty} p_n $.

XXVI - II - Zadanie 3

W pewnej rodzinie mąż i żona zawarli następującą umowę: Jeżeli któregoś dnia zmywa naczynia żona, to następnego dnia zmywa naczynia mąż. Jeżeli natomiast pewnego dnia zmywa naczynia mąż, to o tym, kto zmywa naczynia następnego dnia, decyduje losowanie za pomocą rzutu monetą. Niech $ p_n $ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że $ n $-tego dnia trwania umowy zmywa naczynia mąż. Dowieść, że istnieje granica $ \lim_{n\to \infty} p_n $ i obliczyć ją. Przyjmujemy $ p_1 = \frac{1}{2} $.

XXVI - I - Zadanie 11

Statek porusza się ze stałą prędkością po prostej o kierunku wschód-zachód. Co $ T $ minut losuje się kierunek poruszania: z prawdopodobieństwem $ p $ statek porusza się w ciągu następnych $ T $ minut w kierunku wschodnim, z prawdopodobieństwem $ q= 1-p $ porusza się w kierunku zachodnim. W punkcie poza prostą znajduje się łódź podwodna, której zadaniem jest storpedowanie statku. Czas drogi torpedy od punktu wystrzelenia do dowolnego punktu toru statku wynosi $ 2T $. Kapitan łodzi podwodnej zna wartość $ p $ i celuje tak, aby prawdopodobieństwo trafienia statku było największe. Jak należy dobrać $ p $, aby prawdopodobieństwo storpedowania statku było najmniejsze ?

XXVII OM - III - Zadanie 5

Statek łowi ryby na wodach terytorialnych obcego państwa, nie mając na to pozwolenia. Każde zarzucenie sieci przynosi połów tej samej wartości. Podczas kolejnego zarzucania sieci prawdopodobieństwo %przychwycenia statku przez straż graniczną wynosi $ \frac{1}{k} $ gdzie $ k $ jest ustaloną liczbą naturalną. Zakładamy, że zdarzenie polegające na złapaniu lub niezłapaniu statku przy kolejnym zarzuceniu sieci jest niezależne od dotychczasowego przebiegu połowu. W razie przechwycenia przez straż graniczną, całość dotychczas złowionych ryb ulega konfiskacie i dalszy polów jest niemożliwy. Kapitan planuje powrót po $ n $-tym zarzuceniu sieci. Przy uwzględnieniu ryzyka złapania statku zysk z połowa jest zmienną losową. Znaleźć liczbę $ n $, przy której wartość oczekiwana zysku jest maksymalna.

XXVII OM - I - Zadanie 11

Stacje nadawczo-odbiorcze są kolejno ze sobą połączone: $ S_0 $ z $ S_1 $, $ S_1 $ z $ S_2 $, ..., $ S_n $ z $ S_{n+1} $, ... Stacja $ S_0 $ nadaje sygnał 1 lub -1, stacja $ S_1 $ odbiera z prawdopodobieństwem $ 1 - \varepsilon $ ten sam sygnał, a z prawdopodobieństwem $ \varepsilon $ sygnał przeciwny. Stacja $ S_1 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_2 $ na tych samych zasadach, następnie stacja $ S_2 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_3 $, itd. Niech $ p^n(i|j) $ oznacza prawdopodobieństwo, że stacja $ S_n $ odbiera sygnał $ i $ pod warunkiem, że stacja $ S_0 $ nadała sygnał $ j $. Oblicz $ \lim_{n\to \infty} p^n(i|j) $.

XXVIII - II - Zadanie 3

W kapeluszu znajduje się 7 kartek. Na $ n $-tej kartce napisana jest liczba $ 2^n-1 $ ($ n = 1, 2, \ldots, 7 $). Wyciągamy losowo kartki aż do momentu, kiedy suma przekroczy 124. Jaka wartość tej sumy jest najbardziej prawdopodobna?

Subskrybuje zawartość