Równania funkcyjne

XXVII OM - III - Zadanie 6

Funkcja rosnąca $ f $ określona na zbiorze liczb naturalnych spełnia następujący warunek

\[<br />
f(k\cdot l)=f(k)+f(l)<br />
\]

dla dowolnej pary liczb naturalnych $ (k, l) $.
Udowodnić, że istnieje taka liczba rzeczywista $ p > 1 $, że

\[<br />
f(n) = \log_p n \quad \text{ dla }   $n = 1, 2, 3, \ldots$.<br />
\]

XXVIII - I - Zadanie 9

Funkcja $ f $ określona na zbiorze wszystkich liczb całkowitych przyjmuje tylko wartości dodatnie i spełnia warunek:

\[<br />
f(n) \geq \frac{1}{2}(f(n-1)+f(n+1))\quad  \text{ dla } n = 0, 1, -1, 2, -2, \ldots<br />
\]

Dowieść, że funkcja $ f $ jest stała.

XXXII - II - Zadanie 3

Udowodnić, że nie istnieje funkcja ciągła $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniająca Warunek $ f(f(x)) = - x $ dla każdego $ x $.

XXXII - I - Zadanie 10

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $ odwzorowujące zbiór wszystkich liczb wymiernych $ \mathbb{Q} $ w siebie spełniające następujące warunki:
a) $ f(1)=2 $,
b) $ f(xy) = f(x)f(y)-f(x+y)+1 $ dla $ x, y \in \mathbb{Q} $.

XXXVI OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełnia dla każdego $ x \in \mathbb{R} $ równość $ f(3x) = 3f(x) — 4(f(x))^3 $ i jest ciągła w punkcie 0, to wszystkie jej wartości należą do przedziału $ \langle -1;1\rangle $.

XXXVII OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ciągłe w zerze i takie, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzi równość

\[<br />
2f(2x) = f(x) + x.<br />
\]

XXXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $ d $ będzie liczbą całkowitą dodatnią, a $ f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R} $ taką funkcją ciągłą, że $ f(0) = f(d) $. Udowodnić, że istnieje $ x \in \langle 0; d-1\rangle $ takie, że $ f{x) = -f(x + 1) $.

XLI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $, $ y $ spełniona jest równość

\[<br />
(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2)<br />
\]

XLII OM - III - Zadanie 4

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych rozważamy zbiór $ V $ wszystkich wektorów swobodnych, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $, określone na zbiorze $ V $, o wartościach rzeczywistych, spełniające warunki:

(a) $ f(v) = 1 $ dla każdego z czterech wektorów $ v\in V $ o długości $ 1 $;

(b) $ f(v+w) = f(v) + f(w) $ dla każdej pary wektorów prostopadłych $ v, w \in  V $.

Uwaga: Wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.

Subskrybuje zawartość