Równania wielomianowe

VI OM - I - Zadanie 9

Przedstawić wielomian $ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $ w postaci różnicy kwadratów dwóch wielomianów niejednakowego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

XXIII OM - III - Zadanie 1

Wielomiany $ u_1(x) = a_ix + b_i $ ($ a_i, b_i $ - liczby rzeczywiste; $ i = 1, 2, 3 $) spełniają dla pewnego naturalnego $ n > 2 $ równanie

\[<br />
(1) \qquad [u_1(x)]^n + [u_2(x)]^n = [u_3(x)]^n.<br />
\]

Udowodnić, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ A, B, c_1, c_2, c_3 $, że $ u_i(x)=c_i(Ax+B) $ dla $ i = 1, 2, 3 $.

XXIX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli

\[<br />
x^{2m} \cdot P(x, y) + y^{2m} \cdot Q(x, y) = (x+y)^{2m} \cdot R(x, y),<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną, $ P, Q, R $ są wielomianami stopni mniejszych od $ m $, to każdy z tych wielomianów jest wielomianem zerowym.
Uwaga. Stopniem wielomianu niezerowego $ W(x, y) = \sum a_{ij}x^iy_^j $ nazywamy maksymalną liczbę całkowitą $ i + j $, dla której $ a_{ij}\neq 0 $. Za stopień wielomianu zerowego przyjmujemy liczbę 0.

XXIX OM - I - Zadanie 5

Dla jakich liczb naturalnych $ n $ istnieją niezerowe wielomiany
$ f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $, $ g(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ o współczynnikach całkowitych spełniające równość

\[<br />
\left(\sum_{i=1}{n} x_i\right)\cdot f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) = g(x_1^2,x_2^2, \ldots ,x_n^2) ?<br />
\]

XXXI - III - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdego wielomianu $ W $ trzech zmiennych istnieją takie wielomiany $ U $ i $ V $, że tożsamościowo zachodzą równości

\[<br />
\begin{split}<br />
W(x, y,z) = U (x, y, z) + V (x, y, z),<br />
U (x, y, z) = U (y, x, z),<br />
V(x, y,z) = -V(x, z, y).<br />
\end{split}<br />
\]

XXXVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ P $ będzie takim wielomianem dwóch zmiennych, że dla każdej liczby rzeczywistej $ t $ zachodzi równość $ P(\cos t, \sin t) = 0 $. Dowieść, że istnieje taki wielomian $ Q $, że ma miejsce tożsamość

\[<br />
P(x,y)=(x^2-y^2-1)Q(x,y).<br />
\]

XXXVII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $ f $ nie równy tożsamościowo zeru spełnia dla każdego rzeczywistego $ x $ równość $ f(x)f(x + 3) = f(x^2 + x + 3) $, to nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

LI OM - III - Zadanie 6

Stopień wielomianu $ P(x) $ o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego $ x $

\[<br />
P (x^2 - 1)= (P (x))^2 - 1.<br />
\]

Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzi równość

\[<br />
P(x) = x.<br />
\]

LIX OM - I -Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie wielomiany $ W(x) $ o współczynnikach rzeczywistych, że dla każdej liczby
rzeczywistej $ x $ spełniona jest równość

\[<br />
(1) \qquad	W(x^2)\cdot W (x^3)=(W (x))^5.<br />
\]
Subskrybuje zawartość