Stereometria

II OM - III - Zadanie 1

Belka o długości $ a $ została zawieszona poziomo swymi końcami na dwóch linach równoległych równych $ b $. Skręcamy belkę o kąt $ \varphi $ dokoła osi pionowej przechodzącej przez środek belki. O ile belka się podniesie?

II OM - I - Zadanie 4

Dane są dwie przecinające się płaszczyzny $ A $ i $ B $ oraz prosta $ m $ przecinająca płaszczyzny $ A $ i $ B $. Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do prostej $ m $, których końce leżą na płaszczyznach $ A $ i $ B $.

III OM - III - Zadanie 6

W okrągłej wieży o wewnętrznej średnicy $ 2 $ m znajdują się schody kręcone o wysokości $ 6 $ m. Wysokość każdego stopnia schodów wynosi $ 0,15 $ m. W rzucie poziomym stopnie tworzą przylegające do siebie wycinki kołowe o kącie $ 18^\circ $. Węższe końce stopni umocowane są w okrągłym filarze o średnicy $ 0,64 $ m, którego oś pokrywa się z osią wieży. Obliczyć największą długość pręta prostoliniowego, który można przenieść tymi schodami z dołu do góry (nie brać pod uwagę grubości pręta ani grubości płyt, z których zrobione są schody).

III OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że płaszczyzna, która przechodzi: a) przez środki dwóch krawędzi przeciwległych czworościanu i b) przez środek jednej z pozostałych krawędzi czworościanu, dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy odrzucimy założenie b)?

IV OM - III - Zadanie 3

Przez każdy wierzchołek czworościanu o danej objętości $ V $ poprowadzono płaszczyznę równoległą do przeciwległej ściany czworościanu. Obliczyć objętość czworościanu utworzonego przez te płaszczyzny.

IV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć objętość $ V $ czworościanu $ ABCD $ mając daną długość $ d $ krawędzi $ AB $ oraz pole $ S $ rzutu czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do prostej $ AB $.

IV OM - I - Zadanie 10

Dane są dwie proste skośne $ m $ i $ n $. Na prostej $ m $ odmierzono odcinek $ AB $ o danej długości $ a $, a na prostej $ n $ odmierzono odcinek $ CD $ o danej długości $ b $. Dowieść, że objętość czworościanu $ ABCD $ nie zależy od położenia odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostych $ m $ i $ n $.

V OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ krawędzie przeciwległe są równe, tj. $ AB = CD $, $ AC = BD $, $ AD = BC $, to proste przechodzące przez środki krawędzi przeciwległych są wzajemnie prostopadle i są osiami symetrii czworościanu.

V OM - III - Zadanie 3

Jednorodną tarczę kołową zawieszono w położeniu poziomym na sznurze uczepionym w jej środku $ O $. W trzech różnych punktach $ A $, $ B $, $ C $ brzegu tarczy położono ciężary $ p_1 $, $ p_2 $, $ p_3 $, po czym tarcza pozostała w równowadze. Obliczyć kąty $ AOB $, $ BOC $ i $ COA $.

V OM - II - Zadanie 5

Dane są punkty $ A $, $ B $, $ C $ i $ D $ nie leżące w jednej płaszczyźnie. Przeprowadzić przez punkt $ A $ taką płaszczyznę, żeby rzut prostokątny czworokąta $ ABCD $ na tę płaszczyznę był równołegłobokiem.

Subskrybuje zawartość