Wielomiany

II OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć współczynniki równania

\[<br />
(1) \qquad x^3 - ax^2 + bx - c = 0<br />
\]

w taki sposób, żeby pierwiastkami tego równania były liczby $ a $, $ b $, $ c $.

II OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równania

\[<br />
(1) \qquad<br />
x^2 + mx + n = 0<br />
\textrm{ i }<br />
x^2 + px + q = 0<br />
\]

mają wspólny pierwiastek, to między współczynnikami tych równań zachodzi związek

\[<br />
(2) \qquad (n - q)^2 - (m - p) (np - mq) = 0.<br />
\]

II OM - I - Zadanie 2

Znaleźć warunek, jaki powinny spełniać współczynniki trójmianów

\[<br />
(1) \qquad x^2 + mx + n  \textrm{ i }  x^2 + px + q,<br />
\]

aby między pierwiastkami każdego z tych trójmianów leżał pierwiastek drugiego trójmianu. Litery $ m $, $ n $, $ p $, $ q $ oznaczają tu liczby rzeczywiste.

III OM - II - Zadanie 1

Znaleźć warunki konieczne i dostateczne, jakie powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, aby równanie

\[<br />
(1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

miało trzy pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp arytmetyczny.

IV OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy równanie

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c} = 0,<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $ oznaczają dane liczby rzeczywiste, ma pierwiastki rzeczywiste.

IV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że równanie

\[<br />
(1) \qquad (x - a) (x - c) + 2 (x - b) (x - d) = 0,<br />
\]

w którym $ a < b < c < d $, ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

VI OM - III - Zadanie 1

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $ i $ c $, żeby równanie

\[<br />
(1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

miało trzy różne pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp geometryczny?

Subskrybuje zawartość