2004-2005

LVI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że każdy wielokąt wypukły o polu 1 zawiera sześciokąt wypukły o polu nie mniejszym niż 3/4.

LVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ k $ będzie liczbą naturalną większą od 1 i niech $ m = 4k^2 - 5 $.

Wykazać, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $ a $, $ b $, że każdy wyraz ciągu $ (x_n) $ określonego wzorami

\[<br />
x_{1}=a,\ x_{2}=b,\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\ n\geq 1<br />
\]

jest względnie pierwszy z liczbą $ m $.

LVI OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba rzeczywista $ c> -2 $. Dowieść, że jeżeli liczby $ x_1, x_2,... ,x_n $ ($ n \geq 2 $) są dodatnie oraz

\[<br />
\begin{array}{r}<br />
\sqrt{x_{1}^{2}+cx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+cx_{2}x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+\sqrt{x_{n}^{2}+cx_{n}x_{1}+x_{1}^{2}}=\\<br />
=\sqrt{c+2}(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}),<br />
\end{array}<br />
\]

to $ c =2 $ lub $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n $.

LVI OM - III - Zadanie 3

W kwadratowej tablicy o wymiarach $ 2n \times 2n $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, znajduje się $ 4n^2 $ liczb rzeczywistych o sumie równej 0 (na każdym polu tablicy jedna liczba). Wartość bezwzględna każdej z tych liczb jest nie większa od 1. Dowieść, że wartość bezwzględna sumy wszystkich liczb z pewnego rzędu (poziomego lub pionowego) nie przekracza $ n $.

LVI OM - III - Zadanie 2

Punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą, w tej właśnie kolejności, na okręgu $ o $. Punkt $ S $ leży wewnątrz okręgu $ o $ i spełnia warunki

\[<br />
\measuredangle SAD = \measuredangle SCB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle SDA = \measuredangle SBC.<br />
\]

Prosta zawierająca dwusieczną kąta $ ASB $ przecina okrąg $ o $ w punktach $ P $ i $ Q $. Dowieść, że $ PS = QS $.

LVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $ (x,y,n) $ liczb całkowitych dodatnich spełniające równanie

\[<br />
(x-y)^n=xy.<br />
\]

LVI OM - II - Zadanie 5

Dany jest romb $ ABCD $, w którym $ \measuredangle BAD > 60^{\circ} $. Punkty $ E $ i $ F $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $ i $ AD $, przy czym $ \measuredangle ECF = \measuredangle ABD $. Proste $ CE $ i $ CF $ przecinają przekątną $ BD $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Wykazać, że

\[<br />
\frac{PQ}{EF}=\frac{AB}{BD}.<br />
\]

LVI OM - II - Zadanie 4

Dany jest wielomian $ W(x)=x^2+ax+b $, o współczynnikach całkowitych, spełniający warunek:

Dla każdej liczby pierwszej $ p $ istnieje taka liczba całkowita $ k $, że liczby $ W(k) $ oraz $ W(k + 1) $ są podzielne przez $ p $. Dowieść, że istnieje liczba całkowita $ m $, dla której

\[<br />
W (m)= W (m +1)=0.<br />
\]

LVI OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni danych jest $ n $ punktów ($ n\geq 2 $) z których żadne cztery nie leżą w jednej płaszczyźnie. Niektóre z tych punktów zostały połączone odcinkami. Niech $ K $ będzie liczbą poprowadzonych odcinków ($ K\geq 1 $), a $ T $ liczbą powstałych trójkątów. Udowodnić, że

\[<br />
9T^{2}<2K^{3}.<br />
\]
Subskrybuje zawartość