2003-2004

LV OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita $ m> 1 $. Nieskończony ciąg liczb całkowitych $ x_0,x_1,x_2,\ldots $ jest określony przez warunki

\[<br />
x_{i}=\left\{\begin{array}{ll}<br />
2^{i}&\textrm{dla}\ i<m,\\<br />
x_{i-1}+x_{i-2}+\ldots+x_{i-m}&\textrm{dla}\ i \geq m.<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Wyznaczyć największą liczbę naturalną $ k $, dla której istnieje $ k $ kolejnych wyrazów tego ciągu podzielnych przez $ m $.

LV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć największą liczbę prostych w przestrzeni, przechodzących przez ustalony punkt i takich, że każde dwie przecinają się pod jednakowym kątem.

LV OM - III - Zadanie 3

W pewnym turnieju wzięło udział $ n $ zawodników $ (n \geq 3) $. Każdy grał z każdym dokładnie jeden raz, nie było remisów. Trójelementowy zbiór zawodników nazwiemy trójką remisową, jeśli można tak ponumerować tych trzech zawodników, że pierwszy wygrał z drugim, drugi z trzecim, a trzeci z pierwszym. Wyznaczyć największą liczbę trójek remisowych, jaka mogła się pojawić w turnieju.

LV OM - III - Zadanie 2

Niech $ W $ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmującym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości względnie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których wielomian $ W $ przyjmuje wartości parami względnie pierwsze.

LV OM - III - Zadanie 1

Punkt $ D $ leży na boku $ AB $ trójkąta $ ABC $. Okręgi styczne do prostych $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ A $ i $ B $ przechodzą przez punkt $ D $ i przecinają się po raz drugi w punkcie $ E $. Niech $ F $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ C $ względem symetralnej odcinka $ AB $. Wykazać, że punkty $ D $, $ E $ i $ F $ leżą na jednej prostej.

LV OM - II - Zadanie 6

Na przyjęciu spotkało się $ n $ osób $ (n \geq 5) $. Wiadomo, że wśród dowolnych trzech osób pewne dwie znają się. Dowieść, że spośród uczestników przyjęcia można wybrać nie mniej niż $ n/2 $ osób i posadzić przy okrągłym stole tak, aby każdy siedział między dwoma swoimi znajomymi.

LV OM - II - Zadanie 5

Punkty $ D $ i $ E $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CA $ trójkąta $ ABC $, przy czym $ BD = AE $. Odcinki $ AD $ i $ BE $ przecinają się w punkcie $ P $. Dwusieczna kąta $ ACB $ przecina odcinki $ AD $ i $ BE $ odpowiednio w punktach $ Q $ i $ R $. Wykazać, że

\[<br />
\frac{PQ}{AD} = \frac{PR}{BE}.<br />
\]

LV OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $ n $, mające dokładnie $ \sqrt{n} $ dzielników dodatnich.

LV OM - II - Zadanie 3

Wyznaczyć liczbę ciągów nieskończonych $ a_1,a_2,a_3,\dots $ o wyrazach równych $ +1 $ i $ -1 $, spełniających równanie

\[<br />
a_{mn} = a_ma_n \ \textrm{dla}\ m,n = 1, 2,3,\ldots<br />
\]

oraz warunek: w każdej trójce kolejnych wyrazów $ (a_n, a_{n+1}, a_{n+2}) $ występuje zarówno $ +1 $, jak i $ -1 $.

Subskrybuje zawartość