2002-2003

LIV OM - III - Zadanie 6

Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą parzystą. Udowodnić, że istnieje permutacja $ (x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ zbioru $ \{1,2,\ldots,n\} $, spełniająca dla każdego $ i \in \{1,2,\ldots ,n\} $ warunek:

$ x_{i+1} $ jest jedną z liczb $ 2x_i $, $ 2x_i-1 $, $ 2x_i-n $, $ 2x_i-n-1 $,

przy czym $ x_{n+1} = x_1 $.

LIV OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ ABCD $ jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ H $. Druga sfera jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ O $ oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, to $ H $ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

LIV OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $, że

\[<br />
0 <x <y < z <p.<br />
\]

Wykazać, że jeśli liczby $ x^3 $, $ y^3 $, $ z^3 $ dają takie same reszty przy dzieleniu przez $ p $, to liczba $ x^2 + y^2 + z^2 $ jest podzielna przez $ x + y + z $.

LIV OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ W $ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ 2^n-1 $ jest podzielna przez $ W(n) $.

LIV OM - III - Zadanie 2

Liczba $ a $ jest dodatnia i mniejsza od 1. Dowieść, że dla każdego skończonego, ściśle rosnącego ciągu nieujemnych liczb całkowitych ($ k_1,\ldots,k_n $) zachodzi nierówność

\[<br />
\left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}.<br />
\]

LIV OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ odcinek $ CD $ jest wysokością. Przez środek $ M $ boku $ AB $ poprowadzono taką prostą przecinającą półproste $ CA $ i $ CB $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $, że $ CK = CL $. Punkt $ S $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ CKL $. Wykazać, że $ SD = SM $.

LIV OM - II - Zadanie 6

Każdej parze liczb całkowitych nieujemnych $ (x,y) $ jest przyporządkowana liczba $ f (x,y) $ zgodnie z warunkami:

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
f (0,0) &=& 0;\\<br />
f (2x, 2y) &=& f (2x +1,2y + 1) = f (x, y),\\<br />
f(2x +1,2y) &=& f(2x, 2y +1)= f(x,y) + 1\ \textrm{dla}\ x,y \geq 0.<br />
\end{array}<br />
\]

Niech $ n $ będzie ustaloną liczbą całkowitą nieujemną i niech $ a $, $ b $ będą takimi liczbami całkowitymi nieujemnymi, że $ f (a,b) = n $. Rozstrzygnąć, ile jest liczb $ x $ spełniających równanie

\[<br />
f (a,x) + f (b,x) = n.<br />
\]

LIV OM - II - Zadanie 5

Punkt $ A $ leży na zewnątrz okręgu $ o $ o środku $ O $. Z punktu $ A $ poprowadzono dwie proste styczne do okręgu $ o $ odpowiednio w punktach $ B $ i $ C $. Pewna styczna do okręgu $ o $ przecina odcinki $ AB $ i $ AC $ odpowiednio w punktach $ E $ i $ F $. Proste $ OE $ i $ OF $ przecinają odcinek $ BC $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Udowodnić, że z odcinków $ BP $, $ PQ $ i $ QC $ można zbudować trójkąt podobny do trójkąta $ AEF $.

LIV OM - II - Zadanie 4

Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej $ p > 3 $ istnieją liczby całkowite $ x $, $ y $, $ k $ spełniające warunki: $ 0 < 2k <p $ oraz

\[<br />
kp + 3 = x^2 + y^2 .<br />
\]

LIV OM - II - Zadanie 3

Dany jest wielomian $ W(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 9x $. Wyznaczyć wszystkie pary różnych liczb całkowitych $ a $, $ b $ spełniających równanie

\[<br />
W (a) = W (b).<br />
\]
Subskrybuje zawartość