2001-2002

LIII OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $ k $. Określamy ciąg $ (a_n) $ wzorami

\[<br />
a_{1}=k+1,\ a_{n+1}=a_{n}^{2}-ka_{n}+k\ \textrm{dla}\ n\geq 1.\]

Wykazać, że jeżeli $ m \ne n $, to liczby $ a_m $ i $ a_n $ są względnie pierwsze.

LIII OM - III - Zadanie 5

W przestrzeni dany jest trójkąt $ ABC $ oraz sfera $ s $ rozłączna z płaszczyzną $ ABC $. Przez każdy z punktów $ A $, $ B $, $ C $ poprowadzono prostą styczną do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio $ K $, $ L $, $ M $. Punkt $ P $ leży na sferze $ s $ i spełnia warunki

\[<br />
\frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}.<br />
\]

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie $ ABCP $ jest styczna do sfery $ s $.

LIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 3 $ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ zachodzi co najmniej jedna z nierówności

\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac{n}{2},\  \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq\frac{n}{2}<br />
\]

(przyjmujemy $ x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2} $ oraz $ x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1} $).

LIII OM - III - Zadanie 3

Na tablicy są napisane trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby $ k $, $ m $ i zastępujemy je liczbami $ k + m $ i $ |k - m| $, a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych, kontynuując to postępowanie, można otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

LIII OM - III - Zadanie 2

Na bokach $ AC $ i $ BC $ trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ ACPQ $ i $ BKLC $ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $ PL $, punkt $ C $ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ leżą na jednej prostej.

LIII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb naturalnych $ a $, $ b $, $ c $, że liczby $ a^2 +1 $ i $ b^2 +1 $ są pierwsze oraz

\[<br />
(a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1 .<br />
\]

LIII OM - II - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}, $ $ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad x_{1}x_{2}\ldots  x_{n}+y_{1}y_{2}\ldots y_{n}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\cdot\ldots\cdot\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}.<br />
\]

LIII OM - II - Zadanie 5

Trójkąt $ ABC $, w którym $ \measuredangle A = 90^\circ $, jest podstawą ostrosłupa $ ABCD $. Ponadto zachodzą równości

\[<br />
AD = BD \  \textrm{oraz}\   AB = CD.<br />
\]

Udowodnić, że $ \measuredangle ACD \geq 30^\circ $ .

LIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $ p \leq q \leq r $, że liczby

\[<br />
pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2}<br />
\]

są pierwsze.

LIII OM - II - Zadanie 3

W $ n $-osobowym stowarzyszeniu działa sześć komisji. W skład każdej z nich wchodzi nie mniej niż $ n/4 $ osób. Dowieść, że istnieją dwie komisje oraz grupa licząca nie mniej niż $ n/30 $ osób, należących do obu tych komisji.

Subskrybuje zawartość