2000-2001

LII OM - III - Zadanie 6

Dane są liczby całkowite dodatnie $ n_1 <n_2 < \ldots <n_{2000} < 10^{100} $. Dowieść, że ze zbioru $ \{n_1,n_2,\ldots,n_{2000}\} $ można wybrać niepuste rozłączne podzbiory $ A $ i $ B $ mające tyle samo elementów, taką samą sumę elementów i taką samą sumę kwadratów elementów.

LII OM - III - Zadanie 5

Punkty $ K $ i $ L $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CD $ równoległoboku $ ABCD $, przy czym $ BK \cdot AD = DL \cdot AB $. Odcinki $ DK $ i $ BL $ przecinają się w punkcie P. Wykazać, że $ \measuredangle DAP = \measuredangle BAC $.

LII OM - III - Zadanie 4

Dane są takie liczby całkowite $ a $ i $ b $, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ n $ liczba $ 2^na + b $ jest kwadratem liczby całkowitej. Dowieść, że $ a = 0 $.

LII OM - III - Zadanie 3

Rozważamy ciąg $ (x_n) $ określony rekurencyjnie wzorami

\[<br />
x_{1}=a,\ x_{2}=b\ \textrm{oraz}\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\  n=1,2,3,\ldots,<br />
\]

gdzie $ a $ i $ b $ są liczbami rzeczywistymi.

Liczbę $ c $ będziemy nazywać wartością wielokrotną ciągu $ (x_n) $, jeżeli istnieją co najmniej dwie różne liczby całkowite dodatnie $ k $ i $ l $ takie, że $ x_k = x_l = c $. Wykazać, że można tak dobrać liczby $ a $ i $ b $, aby ciąg $ (x_n) $ miał więcej niż $ 2000 $ wartości wielokrotnych, ale nie można tak dobrać $ a $ i $ b $, aby miał on nieskończenie wiele wartości wielokrotnych.

LII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $ 1 $ od jego wierzchołków jest nie większa niż $ 3 $.

LII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ i dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ zachodzi nierówność

\[<br />
\sum_{i=1}^{n}ix_{i}\leq{n \choose 2}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{i}.<br />
\]

LII OM - II - Zadanie 6

Dla danej liczby całkowitej dodatniej $ n $ rozstrzygnąć, czy podzbiorów $ n $-elementowych zbioru $ \{1,2,3,\ldots,2n-1,2n\} $ mających sumę elementów parzystą jest tyle samo, co podzbiorów $ n $-elementowych mających nieparzystą sumę elementów. Jeśli nie, to rozstrzygnąć, których jest więcej i o ile.

LII OM - II - Zadanie 5

Punkt $ I $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $. Prosta $ AI $ przecina bok $ BC $ w punkcie $ D $. Dowieść, że $ AI + CD = AC $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \measuredangle B = 60^\circ + \frac{1}{3}\measuredangle C $.

LII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n \geq 3 $, dla których prawdziwe jest następujące zdanie:

W dowolnym $ n $-wyrazowym ciągu arytmetycznym $ a_1, a_2,\ldots,a_n $, dla którego liczba $ 1 \cdot a_1 + 2\cdot a_2 +... + n \cdot a_n $ jest wymierna, istnieje wyraz będący liczbą wymierną.

LII OM - II - Zadanie 3

Niech $ n \geq 3 $ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

\[<br />
x^{n}+a_{n-3}x^{n-3}+a_{n-4}x^{n-4}+a_{n-5}x^{n-5}+\ldots+a_{1}x+a_{0},<br />
\]

gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych $ a_0,a_1,\ldots, a_{n-3} $ jest różny od zera, ma mniej niż $ n $ pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Subskrybuje zawartość