1998-1999

L OM - III - Zadanie 6

W sześciokącie wypukłym $ ABCDEF $ zachodzą równości:

\[<br />
\measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = 360^\circ ,\qquad \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA}=1.<br />
\]

Dowieść, że $ \frac{AB}{BF} \cdot \frac{FD}{DE} \cdot \frac{EC}{CA}=1 $.

L OM - III - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych $ n \geq 2 $ układ równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{c}<br />
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\<br />
x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\<br />
x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\<br />
\vdots\\<br />
 x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\<br />
x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych $ x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n $.

L OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieją takie liczby naturalne $ n_1 <n_2 < \ldots < n_{50} $, że

\[<br />
n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}) ,<br />
\]

gdzie $ S(n) $ jest sumą cyfr liczby $ n $.

L OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby całkowite nieujemne $ a_1 <a_2 <a_3 < \ldots < a_{101} $ mniejsze od $ 5050 $. Dowieść, że spośród nich można wybrać takie cztery różne $ a_k $, $ a_l $, $ a_m $, $ a_n $, że liczba $ a_k + a_l -a_m -a_n $ jest podzielna przez $ 5050 $.

L OM - III - Zadanie 1

Punkt $ D $ leży na boku $ BC $ trójkata $ ABC $, przy czym $ AD > BC $. Punkt $ E $ leży na boku $ AC $ i spełnia warunek

\[<br />
\frac{AE}{EC}= \frac{BD}{AD - BC}.<br />
\]

Udowodnić, że $ AD > BE $.

L OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $ k \geq 2 $ oraz liczby całkowite $ a_1, a_2,\ldots, a_n $ spełniające warunki

\[<br />
a_1 + 2^i a_2 + 3^i a_3 + \ldots + n^i a_n = 0\ \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, k-1.<br />
\]

Dowieść, że liczba $ a_1 + 2^k a_2 + 3^k a_3 + \ldots + n^k a_n $ jest podzielna przez $ k! $.

L OM - II - Zadanie 5

Niech $ S = \{1, 2,3,4, 5\} $. Wyznaczyć liczbę funkcji $ f: S \to S $ spełniających równość $ f^{50} (x) = x $ dla wszystkich $ x \in S $.

Uwaga: $ f^{50}(x) = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{50} (x) $.

L OM - II - Zadanie 4

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $ i spełnia warunki: $ \measuredangle PAB = \measuredangle PCA $ oraz $ \measuredangle PAC = \measuredangle PBA $. Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $. Dowieść, że jeżeli $ O \ne P $, to kąt $ APO $ jest prosty.

L OM - II - Zadanie 3

Czworokąt wypukły $ ABCD $ jest wpisany w okrąg. Punkty $ E $ i $ F $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $ i $ CD $, przy czym $ AE: EB = CF: FD $. Punkt $ P $ leży na odcinku $ EF $ i spełnia warunek $ EP: PF = AB: CD $. Udowodnić, że stosunek pól trójkątów $ APD $ i $ BPC $ nie zależy od wyboru punktów $ E $ i $ F $.

Subskrybuje zawartość