1997-1998

XLIX OM - I - Zadanie 12

Niech $ g(k) $ będzie największym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej $ k $, gdy $ |k|\geq 2 $, oraz przyjmijmy $ g(-1) = g(0) =g(1) = 1 $. Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian $ W $ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci $ g(W(x)) $ ($ x $ - całkowite) jest skończony.

XLIX OM - I - Zadanie 11

W turnieju tenisowym uczestniczyło $ n $ graczy. Każdy rozegrał z każdym innym jeden mecz; nie było remisów. Udowodnić, że istnieje taki gracz $ A $, który każdego innego gracza $ B $ pokonał bezpośrednio lub pośrednio, tzn. gracz $ A $ wygrał z $ B $ lub gracz $ A $ pokonał pewnego zawodnika $ C $, który wygrał z tym graczem $ B $.

XLIX OM - I - Zadanie 10

Środkowe $ AD $, $ BE $, $ CF $ trójkąta $ ABC $ przecinają się w punkcie $ G $. Na czworokątach $ AFGE $ i $ BDGF $ można opisać okręgi. Wykazać, że trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

XLIX OM - I - Zadanie 7

Rozstrzygnąć, czy istnieje wielościan wypukły mający $ k $ krawędzi oraz płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z jego wierzchołków i przecinająca $ r $ krawędzi, przy czym $ 3r > 2k $.

XLIX OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby całkowite dodatnie $ m $ oraz $ n $. Niech $ A=\{1,2,3,\ldots,n\} $. Wyznaczyć liczbę funkcji $ f:A \to A $ przyjmujących dokładnie $ m $ wartości oraz spełniających warunek:

\[<br />
\textrm{jeżeli } k,l \in A,\ k \leq l, \textrm{ to }  f(f(k)) = f(k) \leq f(l).<br />
\]

XLIX OM - I - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $, w którym $ |AB| > |AC| $, punkt $ D $ jest środkiem boku $ BC $, punkt $ E $ leży na boku $ AC $. Punkty $ P $ i $ Q $ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów $ B $ i $ E $ na prostą $ AD $. Dowieść, że $ |BE| = |AE| + |AC| $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ |AD| = |PQ| $.

XLIX OM - I - Zadanie 4

Dana jest liczba dodatnia $ a $. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ c $ mające następującą własność: dla każdej pary liczb dodatnich $ x $, $ y $ spełniona jest nierówność $ (c-1)x^{a+1}  \leq (cy - x)y^a $ .

XLIX OM - I - Zadanie 3

Ciągi $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $ są określone przez warunki:

\[<br />
a_1=4, \quad a_{n+1} = a_n(a_n-1), \quad 2^{b_n}=a_n, \quad 2^{n-c_n}=b_n<br />
\]

dla $ n = 1,2,3,\ldots $. Wykazać, że ciąg $ (c_n) $ jest ograniczony.

Subskrybuje zawartość