1996-1997

XLVIII OM - I - Zadanie 12

Grupa złożona z $ n $ osób stwierdziła, że codziennie przez pewien okres czasu trzy z nich mogą wspólnie zjeść obiad w restauracji, przy czym każde dwie z nich spotkają się na dokładnie jednym obiedzie. Dowieść, że liczba $ n $ przy dzieleniu przez $ 6 $ daje resztę $ 1 $ lub $ 3 $.

XLVIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $ m\geq 1 $ oraz wielomian $ P(x) $ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $ P(x) + 5^m $ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

XLVIII OM - I - Zadanie 10

Punkty $ P $, $ Q $ leżą wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $, przy czym $ |\measuredangle ACP| = |\measuredangle BCQ| $ oraz $ |\measuredangle CAP| = |\measuredangle BAQ| $. Punkty $ D $, $ E $, $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ P $ odpowiednio na boki $ BC $, $ CA $, $ AB $. Dowieść, że kąt $ DEF $ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $ Q $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ BDF $.

XLVIII OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \langle 1,\ \infty) \to \langle 1,\ \infty) $, które spełniają następujące warunki:

  • [(i)] $ f(x+1) = \frac{(f(x))^2-1}{x} $ dla $ x \geq 1 $;
  • [(ii)] funkcja $ g(x)=\frac{f(x)}{x} $ jest ograniczona.

XLVIII OM - I - Zadanie 8

Niech $ a_n $ będzie liczbą wszystkich niepustych podzbiorów zbioru $ \{1,2,\ldots,6n\} $, których suma elementów daje przy dzieleniu przez 6 resztę 5 oraz niech $ b_n $ będzie liczbą wszystkich niepustych podzbiorów zbioru $ \{1,2,\ldots,7n\} $, których iloczyn elementów daje przy dzieleniu przez 7 resztę 5. Obliczyć iloraz $ a_n/b_n $.

XLVIII OM - I - Zadanie 7

Obliczyć kres górny objętości czworościanów zawartych w kuli o danym promieniu $ R $, których jedną z krawędzi jest średnica tej kuli.

XLVIII OM - I - Zadanie 5

Dwusieczne kątów wewnętrznych $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta $ ABC $ przecinają przeciwległe boki odpowiednio w punktach $ D $, $ E $, $ F $, a okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ - odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $. Dowieść, że

\[<br />
\frac{|AD|}{|DK|}+\frac{|BE|}{|EL|}+\frac{|CF|}{|FM|}\geq 9.<br />
\]

XLVIII OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że liczba naturalna $ n \geq 2 $ jest złożona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby naturalne $ a,b,x,y \geq 1 $ spełniające warunki: $ a+b=n $, $ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $.

XLVIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b \geq 1 $, $ c\geq 0 $ oraz dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ zachodzi nierówność

\[<br />
(ab + c)^n-c \leq ((b + c)^n-c)a^n.<br />
\]
Subskrybuje zawartość