1995-1996

XLVII OM - III - Zadanie 6

Spośród wszystkich permutacji $ f $ zbioru $ \{1,2, \ldots , n\} $ spełniających warunek

\[<br />
f(i) \geq i-1 \quad \text{ dla } i=1, 2, \ldots, n<br />
\]

wybieramy jedną (każdy wybór jest jednakowo prawdopodobny). Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwemtego, że wybrana permutacja spełnia warunek

\[<br />
f(i) \leq i+1 \quad \text{ dla } i=1, 2, \ldots, n<br />
\]

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których $ p_n > \frac{1}{3} $.

XLVII OM - III - Zadanie 5

Dla liczby naturalnej $ k \geq 1 $ oznaczmy przez $ p(k) $ najmniejszą liczbę pierwszą, która nie jest dzielnikiem liczby $ k $. Jeśli $ p(k) > 2 $, to przyjmujemy, że $ q(k) $ jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od $ p(k) $; gdy zaś $ p(k) = 2 $, to przyjmujemy $ q(k) = 1 $. Określamy ciąg $ (x_n) $ wzorami:

\[<br />
x_0 = 1, \quad x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots .<br />
\]

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których zachodzi równość $ x_n = 111111 $.

XLVII OM - III - Zadanie 4

W czworościanie $ ABCD $ zachodzą następujące równości:

\[<br />
|\measuredangle BAC| = |\measuredangle ACD| \quad \text{oraz} \quad |\measuredangle ABD| = |\measuredangle BDC|.<br />
\]

Dowieść, że krawędzie $ AB $ i $ CD $ mają jednakową długość.

XLVII OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 2 $ oraz liczby dodatnie $ a_l, a_2, \ldots , a_n $, których suma równa się 1.

(a) Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ x_l, x_2, \ldots , x_n $ o sumie równej 1 zachodzi nierówność

\[<br />
\2\sum_{i<j} x_ix_j \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i}<br />
\]

(b) Wyznaczyć wszystkie układy liczb dodatnich $ x_l, x_2, \ldots , x_n $ o sumie równej 1 dla których powyższa nierówność staje się równością.

Uwaga: Symbol $ \sum_{i<j} x_ix_j $ oznacza sumę $ \binom{n}{2} $ składników odpowiadających wszystkim parom wskaźników $ i,j $ ze zbioru $ \{1,2, \ldots ,n\} $ spełniającym warunek $ i < j $.

XLVII OM - III - Zadanie 2

Wewnątrz danego trójkąta $ ABC $ wybrano punkt $ P $ spełniający warunki: $ |\measuredangle PBC|=|\measuredangle PCA| < |\measuredangle PAB| $. Prosta $ BP $ przecina okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ w punktach $ B $ i $ E $. Okrąg opisany na trójkącie $ APE $ przecina prostą $ CE $ w punktach $ E $ i $ F $. Udowodnić, że punkty $ A $, $ P $, $ E $, $ F $ są kolejnymi wierzchołkami czworokąta oraz że stosunek pola czworokąta $ APEF $ do pola trójkąta $ ABP $ nie zależy od wyboru punktu $ P $.

XLVII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie pary $ (n,r) $, gdzie $ n $ jest liczbą całkowitą dodatnią $ r $ zaś liczbą rzeczywistą, dla których wielomian $ (x + 1)^n - r $ jest podzielny przez wielomian $ 2x^2 + 2x + 1 $.

XLVII OM - II - Zadanie 6

Wewnątrz równoległościanu,którego krawędzie mają długości $ a $, $ b $, $ c $, leży punkt $ P $. Dowieść. że istnieje wierzchołek równoległościanu, którego odległość od punktu $ P $ nie przekracza $ \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $.

XLVII OM - II - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ (x,y) $ spełniające równanie

\[<br />
x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1.<br />
\]

XLVII OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg $ a_1, a_2, \ldots , a_{99} $ liczb ze zbioru $ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $. Zakładamy, że dla $ i =1,2, \ldots, 98 $ zachodzą implikacje:

\[<br />
\textrm{jeśli } a_i = 1, \text{ to } a_{i+1} \neq 2; \quad \text{ a jeśli } a_i = 3, \text{ to } a_{i+1} \neq 4.<br />
\]

Udowodnić, że dla pewnych dwóch różnych liczb $ k,l \in \{1,2, ... ,98\} $ zachodzą równości: $ a_k = a_l $ oraz $ a_{k+1} = a_{l+1} $.

XLVII OM - II - Zadanie 3

Wykazać, że jeśli każda z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest nie mniejsza od $ -\frac{3}{4} $ oraz jeśli $ a+b+c=1 $, to

\[<br />
\frac{a}{a^2+1} + \frac{b}{b^2+1} + \frac{c}{c^2+1} \leq \frac{9}{10}.<br />
\]
Subskrybuje zawartość