1994-1995

XLVI OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy niewspółpłaszczyznowe półproste $ k $, $ l $, $ m $ o wspólnym początku $ P $ oraz punkt $ A $ różny od $ P $ należący do $ k $. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna para punktów $ B $, $ C $, należących odpowiednio do $ l $ i $ m $, taka, że

\[<br />
|PA| + |AB| = |PC| + |CB| \quad \text{oraz} \quad |PB| + |BC| = |PA| + |AC|.<br />
\]

XLVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ n $ i $ k $ będą liczbami naturalnymi. Z urny, w której znajduje się 11 kartek ponumerowanych liczbami od 1 do $ n $, losujemy kartki kolejno po jednej, bez zwracania. Gdy pojawi się kartka o numerze podzielnym przez $ k $, przerywamy losowanie. Dla ustalonego $ n $ wyznaczyć te liczby $ k \leq n $, dla których wartość oczekiwana liczby wylosowanych kartek jest równa dokładnie $ k $.

XLVI OM - III - Zadanie 4

Dla danej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia

\[<br />
x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \ldots  + \frac{x_n^n}{n}<br />
\]

gdzie $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek

\[<br />
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} = n.<br />
\]

XLVI OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba pierwsza $ p \geq 3 $. Określamy ciąg $ (a_n) $ wzorami

\[<br />
\begin{split}<br />
a_n = n & \text{ dla } n=0,1,2,\ldots,p-1, \\<br />
a_n = a_{n-1} + a_{n-p} & \text{ dla } n\geq p.<br />
\end{split}<br />
\]

Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby $ a_{p^3} $ przez $ p $.

XLVI OM - III - Zadanie 2

Przekątne pięciokąta wypukłego dzielą ten pięciokąt na pięciokąt i dziesięć trójkątów. Jaka jest maksymalna możliwa do uzyskania liczba trójkątów o równych polach?

XLVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć liczbę podzbiorów zbioru $ \{1,2, \ldots , 2n\} $, w których równanie $ x + y = 2n+1 $ nie ma rozwiązań.

XLVI OM - II - Zadanie 6

Kwadrat o boku długości $ n $ dzielimy na $ n^2 $ kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których taki kwadrat mozna pociąć wzdłuż linii tego podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.

XLVI OM - II - Zadanie 5

Okręgi wpisane w ściany $ ABC $ i $ ABD $ czworościanu $ ABCD $ są styczne do krawędzi $ AB $ w tym samym punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów z krawędziami $ AC $, $ BC $ oraz $ AD $, $ BD $ leżą na jednym okręgu.

XLVI OM - II - Zadanie 4

Liczby dodatnie $ x_l, x_2, \ldots , x_n $ spełniają warunek

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2<br />
\]

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $ t $ większej od 1 zachodzi nierówność

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i^t \leq \sum_{i=1}^n x_i^{t+1}<br />
\]

XLVI OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby niewymierne dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, przy czym $ a+b = 1 $. Udowodnić, że $ c+d = 1 $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość $ [na] +[nb] = [nc] + [nd] $.

Uwaga: $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

Subskrybuje zawartość