1993-1994

XLV OM - III - Zadanie 6

Różne liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ ($ n \geq 4 $) spełniają warunki

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1.<br />
\]

Dowieść, że spośród tych liczb można wybrać takie cztery różne liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, aby zachodziły nierówności

\[<br />
a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd.<br />
\]

XLV OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1, A_2, \ldots , A_8 $ są wierzchołkami równoległościanu o środku $ O $. Wykazać, że

\[<br />
r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2.<br />
\]

XLV OM - III - Zadanie 4

Dysponujemy trzema naczyniami bez podziałki: pustym $ m $-litrowym, pustym $ n $-litrowym oraz napełnionym wodą $ (m+n) $-litrowym. Liczby $ m $ i $ n $ są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Udowodnić, że dla każdej liczby $ k \in \{1,2, \ldots , m+n-1\} $ można za pomocą przelewania wody otrzymać w trzecim naczyniu dokładnie $ k $ litrów wody.

XLV OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba całkowita $ c \geq 1 $. Każdemu podzbiorowi $ A $ zbioru $ \{1,2, \ldots ,n\} $ przyporządkowujemy liczbę $ w(A) $ ze zbioru $ \{1,2, \ldots ,c\} $ tak, by był spełniony następujący warunek:

\[<br />
w(A \cap B) = \min(w(A),w(B)) \quad \text{ dla } A, B \subset \{1,2, \ldots , n\}.<br />
\]

Niech $ a(n) $ będzie liczbą takich przyporządkowań. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a(n)} $.

Uwaga: $ \min(x,y) $ jest nie większą z liczb $ x $, $ y $.

XLV OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są dwie proste równoległe $ k $ i $ l $ oraz okrąg rozłączny z prostą $ k $. Z punktu $ A $ leżącego na prostej $ k $ prowadzimy dwie styczne do tego okręgu przecinające prostą $ l $ w punktach $ B $, $ C $. Niech $ m $ będzie prostą przechodzącą przez punkt $ A $ i środek odcinka $ BC $. Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $ m $ (odpowiadające różnym wyborom punktu $ A $ na prostej $ k $) mają wspólny punkt.

XLV OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $ (x,y,z) $ liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby $ x+y+z $, $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} $, $ xyz $ są naturalne.

XLV OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza p. Wykazać równoważność zdań:

(a) Istnieje taka liczba całkowita $ n $, że liczba $ n^2 - n + 3 $ jest podzielna przez $ p $.

(b) Istnieje taka liczba całkowita $ m $, że liczba $ m^2 - m +25 $ jest podzielna przez $ p $.

XLV OM - II - Zadanie 5

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków $ AB $ i $ BC $ tego trójkąta odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $. Prosta $ PQ $ przecina dwusieczną kąta $ BAC $ w punkcie $ S $. Udowodnić, że ta dwusieczna jest prostopadła do prostej $ SC $.

XLV OM - II - Zadanie 4

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę $ 1 $ lub $ -1 $, a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma $ 14 $ liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

XLV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.

Subskrybuje zawartość