1992-1993

XLIV OM - III - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy można obliczyć objętość czworościanu znając pola jego czterech ścian oraz promień kuli opisanej (tzn. czy objętość czworościanu jest funkcją pól jego ścian i promienia kuli opisanej).

XLIV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniające następujące warunki:

\[<br />
f(-x)=-f(x), \quad f(x+1)=f(x)+1 \quad \text{ dla }x \in \mathbb{R},<br />
\]
\[<br />
f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{f(x)}{x^2} \quad \text{ dla } x\neq 0.<br />
\]

XLIV OM - III - Zadanie 4

Dany jest wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami. Wierzchołki tego wielościanu kolorujemy trzema kolorami. Udowodnić, że liczba ścian mających wierzchołki wszystkich trzech kolorów jest parzysta.

XLIV OM - III - Zadanie 3

Oznaczmy przez $ g(k) $ największy dzielnik nieparzysty liczby całkowitej dodatniej $ k $ oraz przyjmijmy

\[<br />
f(k) =<br />
\begin{cases}<br />
\frac{k}{2} + \frac{k}{g(k)} & \text{ dla } $k$ \text{ parzystego,} \\<br />
2^{\frac{k+1}{2}} & \text{ dla } $k$ \text{ nieparzystego.}<br />
\end{cases}<br />
\]

Ciąg $ (x_n) $ jest określony przez zależności $ x_1 = 1 $, $ x_{n+1} = f(x_n) $. Wykazać, że liczba 800 występuje wśród wyrazów tego ciągu dokładnie raz. Wyznaczyć $ n $, dla którego $ x_n = 800 $.

XLIV OM - III - Zadanie 2

Punkt $ O $ jest środkiem okręgu $ k $ wpisanego w trapez nierównoramienny $ ABCD $, którego dłuższa podstawa $ AB $ ma środek $ M $. Krótsza podstawa $ CD $ jest styczna do okręgu $ k $ w punkcie $ E $, prosta $ OM $ przecina podstawę $ CD $ w punkcie $ F $. Udowodnić, że $ |DE| = |FC| $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ |AB| = 2\cdot |CD| $.

XLIV OM - II - Zadanie 5

Na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio takie punkty $ D $, $ E $ i $ F $, że okręgi wpisane w trójkąty $ AEF4 $, $ BFD $ i $ CDE $ mają promienie równe $ r_1 $. Okręgi wpisane w trójkąty $ DEF $ i $ ABC $ mają odpowiednio promienie $ r_2 $ i $ r $. Wykazać, że $ r_1+r_2=r $.

XLIV OM - II - Zadanie 4

Niech $ (x_n) $ będzie takim ciągiem liczb naturalnych, że:

\[<br />
x_1 = 1 \quad \text{ oraz } \quad<br />
x_n < x_{n +1} \leq 2n \quad \text{ dla } n=1,2,3,\ldots .<br />
\]

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ istnieją takie liczby $ r $ i $ s $, że $ x_r - x_s = k $.

XLIV OM - II - Zadanie 3

Na krawędzi $ |OA_1| $ czworościanu $ |OA_1B_1C_1| $ wybrano punkty $ A_2 $, $ A_3 $ tak, że $ |OA_1| > |OA_2| > |OA_3| > O $. Niech $ B_2 $, $ B_3 $ będą takimi punktami krawędzi $ |OC_1| $, a $ C_2 $, $ C_3 $ - takimi punktami krawędzi $ |OC_1| $, że płaszczyzny $ |A_1B_1C_1| $, $ |A_2B_2C_2| $, $ |A_3B_3C_3| $ są równoległe. Oznaczmy przez $ V_i $ ($ i=1,2,3 $) objętość czworościanu $ |OA_iB_iC_i| $, a przez $ V $ objętość czworościanu $ |OA_1B_2C_3| $. Udowodnić, że $ V_1 + V_2 + V_3 \geq 3V $.

Subskrybuje zawartość