1991-1992

XLIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ liczba $ (k!)^{k^2+k+1} $ jest dzielnikiem liczby $ (k^3)! $.

XLIII OM - III - Zadanie 5

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest $ 2n $-kąt foremny $ A_1, A_2, \ldots, A_n $. Sfera przechodząca przez wierzchołek $ S $, ostrosłupa pezecina krawędzie boczne $ SA_i $ w punktach $ B_i $ ($ i = 1,2,\ldots, 2n $). Udowodnić, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n |SB_{2i-1}| = \sum_{i=1}^n |SB_{2i}|.<br />
\]

XLIII OM - III - Zadanie 4

Ciąg funkcji $ f_0, f_1, f_2, \ldots $ określony w następujący sposób:

\[<br />
f_0(x) = 8 \quad \text{ dla wszystkich } x\in \mathbb{R},<br />
\]
\[<br />
f_{n+1}(x) = \sqrt{x^2+6f_n(x)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots \text{ oraz wszystkich } x\in \mathbb{R}.<br />
\]

Dla każdej liczby naturalnej rozwiązać równanie

\[<br />
f_n(x) = 2x.<br />
\]

XLIII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a_1, a_2, \ldots , a_r $ zachodzi nierówność

\[<br />
\sum_{n=1}^r\left(\sum_{m=1}^r \frac{a_ma_n}{m+n}\right) \geq 0.<br />
\]

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $ a_1, a_2, \ldots , a_r $ nierówność ta staje się równością.

XLIII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $ określone na zbiorze liczb wymiernych dodatnich, o wartościach w tym samym zbiorze, spełniające dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych warunki

\[<br />
f(x+1) = f(x)+1 \quad \text{ oraz }\quad f(x^3) = (f(x))^3.<br />
\]

XLIII OM - III - Zadanie 1

Odcinki $ AC $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ P $, przy czym $ |PA|=|PD| $, $ |PB|=|PC| $. Niech $ O $ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ PAB $. Dowieść, że proste $ OP $ i $ CD $ są prostopadłe.

XLIII OM - II - Zadanie 6

Ciągi $ (x_n) $ i $ (y_n) $ są określone następująco:

\[<br />
x_{n+1} = \frac{x_n+2}{x_n+1},\quad y_{n+1}=\frac{y_n^2+2}{2y_n} \quad \text{ dla } n=0,1,2,\ldots.<br />
\]

Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej $ n\geq 0 $ zachodzi równość $ y_n = x_{2^n-1} $.

XLIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć kres górny obiętości kul zawartych w czworościanach o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $ 1 $.

XLIII OM - II - Zadanie 4

Okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ są styczne zewnętrznie: $ k_1 $ do $ k_2 $ w punkcie $ A $, $ k_2 $ do $ k_3 $ w punkcie $ B $, $ k_3 $ do $ k_4 $ w punkcie $ C $, $ k_4 $ do $ k_1 $ w punkcie $ D $. Proste $ AB $ i $ CD $ przecinają się w punkcie $ S $. Przez punkt $ S $ poprowadzono prostą $ p $ styczną do $ k_4 $ w punkcie $ F $. Wykazać, że $ |SE|=|SF| $.

XLIII OM - II - Zadanie 3

Przez środek ciężkości trójkąta ostrokątnego $ ABC $ poprowadzono proste prostopadłe do boków $ BC $, $ CA $, $ AB $, przecinające je odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $, $ R $. Wykazać że jeżeli $ |BP|\cdot |CQ| \cdot |AR| = |PC| \cdot |QA| \cdot |RB| $, to trójkąt $ ABC $ jest równoramienny.

Uwaga: Zgodnie z twierdzeniem Cevy, dana w założeniu równość, iloczynów jest równoważna temu, że proste $ AP $, $ BQ $, $ CR $ mają punkt wspólny.

Subskrybuje zawartość