1990-1991

XLII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych $ x,y,z $ takich, że $ x^2+y^2+z^2 = 2 $ spełniona jest nierówność $ x+y+z\leq 2+xyz $ oraz ustalić, kiedy zachodzi równość.

XLII OM - III - Zadanie 5

Nieprzystające okręgi $ k_1 $ i $ k_2 $ leżą jeden na zewnątrz drugiego. Wspólne styczne do tych okręgów przecinają prostą wyznaczoną przez ich środki w punktach $ A $ i $ B $. Niech $ P $ będzie dowolnym punktem okręgu $ k_1 $. Dowieść, że istnieje średnica okręgu $ k_2 $, której jeden koniec leży na prostej $ PA $, a drugi — na prostej $ PB $.

XLII OM - III - Zadanie 4

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych rozważamy zbiór $ V $ wszystkich wektorów swobodnych, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $, określone na zbiorze $ V $, o wartościach rzeczywistych, spełniające warunki:

(a) $ f(v) = 1 $ dla każdego z czterech wektorów $ v\in V $ o długości $ 1 $;

(b) $ f(v+w) = f(v) + f(w) $ dla każdej pary wektorów prostopadłych $ v, w \in  V $.

Uwaga: Wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.

XLII OM - III - Zadanie 3

Niech $ N $ będzie dowolną liczbą postaci

\[<br />
N= \sum_{k=1}^{60} \varepsilon_k\cdot k^{k^k},<br />
\]

gdzie każdy ze współczynników $ \varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_{60} $ równa się $ 1 $ lub $ -1 $. Udowodnić, że $ N $ nie jest piątą potęgą żadnej liczby naturalnej.

Uwaga: $ k^{k^k} = k^{(k^k)} $.

XLII OM - III - Zadanie 2

Niech $ X $ będzie zbiorem punktów płaszczyzny $ (x.y) $ o obydwu współrzędnych całkowitych. Drogą długości $ n $ nazywamy każdy taki ciąg $ (P_0, P_1,\ldots, P_n) $ punktów zbioru $ X $, że $ |P_{i-1}P_{i}|=1 $ dla $ i \in \{1,2,\ldots,n\} $. Niech $ F(n) $ będzie liczbą różnych dróg $ (P_0,P_1,\ldots,P_n) $ o początku $ P_0 = (0,0) $ i końcu $ P_n $ położonym na prostej o równaniu $ y = 0 $. Udowodnić, że

\[<br />
F(n) = \binom{2n}{n}.<br />
\]

XLII OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy istnieją czworościany $ T_1 $ i $ T_2 $ o następujących dwóch własnościach:

(a) objętość czworościanu $ T_1 $ jest większa od objętości czworościanu $ T_2 $;

(b) pole każdej ściany czworościanu $ T_1 $ nie przekracza pola żadnej ściany czworościanu $ T_2 $.

XLII OM - II - Zadanie 6

Równoległościan zawiera kulę o promieniu $ r $ i jest zawarty w kuli o promieniu $ R $. Dowieść, że $ \frac{R}{r} \geq \sqrt{3} $.

XLII OM - II - Zadanie 5

$ P_1, P_2, \ldots, P_n $ są różnymi podzbiorami dwuelementowymi zbioru $ \{1,2,\ldots,n\} $. Zbiory $ P_i $, $ P_j $ dla $ i\neq j $ mają element wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $ \{i,j\} $ jest jednym ze zbiorów $ P_1, P_2, \ldots, P_n $. Dowieść, że każda z liczb $ 1,2,\ldots,n $ jest elementem wspólnym dokładnie dwóch zbiorów spośród $ P_1, P_2, \ldots, P_n $.

XLII OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby całkowite dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $ takie, że $ a+b = c+d = e+f = 101 $. Udowodnić, że liczby $ \frac{ace}{bdf} $ nie można zapisać w postaci ułamka $ \frac{m}{n} $ gdzie $ m $, $ n $ są liczbami całkowitymi dodatnimi o sumie mniejszej od $ 101 $.

Subskrybuje zawartość