1988-1989

XL OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a, b, c, d $ spełniona jest nierówność

\[<br />
\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{6}}.<br />
\]

XL OM - III - Zadanie 5

Na sferze o promieniu $ r $ leżą trzy okręgi o promieniu $ a $, parami styczne i zawarte w jednej półsferze. Znaleźć promień okręgu leżącego na tej samej sferze i stycznego do każdego z tych trzech okręgów.

Uwaga Podobnie jak na płaszczyźnie, mówimy, że dwa okręgi leżące na sferze są styczne, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.

XL OM - III - Zadanie 4

Niech $ n, k $ będą liczbami naturalnymi. Wybieramy ciąg zbiorów $ A_0,\ldots, A_k $ tak, że $ A_0 = \{1,\ldots, n\} $, a dla $ i = 1,\ldots, k $ zbiór $ A_i $ jest losowo wybranym podzbiorem $ A_{i-1} $, przy czym wybór każdego podzbioru jest jednakowo prawdopodobny. Rozpatrujemy zmienną losową równą liczbie elementów $ A_k $ . Dowieść, że jej wartość oczekiwana jest równa $ n2^{-k} $.

XL OM - III - Zadanie 3

Numerujemy krawędzie sześcianu liczbami od 1 do 12.
(a) Dowieść, że dla dowolnego ponumerowania istnieje co najmniej osiem trójek liczb całkowitych $ (i,j,k) $, gdzie $ 1\leq i< j < k\leq 12 $, takich, że krawędzie o numerach $ i,j,k $ są kolejnymi bokami łamanej.
(b) Podać przykład ponumerowania, dla którego nie istnieje dziewięć trójek o własnościach wymienionych w (a).

XL OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ są styczne zewnętrznie w punkcie $ P $, okręgi $ k_3 $ i $ k_1 $ — w punkcie $ Q $, okręgi $ k_1 $ i $ k_2 $ — w punkcie $ R $. Prosta $ PQ $ przecina okrąg $ k_1 $ jeszcze w punkcie $ S $, a prosta $ PR $ — w punkcie $ T $. Prosta $ SR $ przecina okrąg $ k_2 $ również w punkcie $ U $, a prosta $ TQ $ przecina $ k_3 $ jeszcze w punkcie $ V $. Udowodnić, że punkt $ P $ leży na prostej $ UV $.

Rozwiązanie

om40_3r_img_6.jpg

Oznaczmy okrąg wpisany w trójkąt $ O_1O_2O_3 $ przez $ k $, jego środek przez $ I $, a środki okręgów $ k_1 $, $ k_2 $ , $ k_3 $ - przez $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $. Okrąg $ k $ jest styczny do boków trójkąta $ O_1O_2O_3 $ w punktach $ P $, $ Q $, $ R $; wymka to z równości $ |O_1Q| = |O_1R| $, $ |O_2R| = |O_2P| $, $ |O_3P| = |O_3Q| $.

Zachodzą następujące równości kątów (rysunek 6):

\[<br />
\begin{split}<br />
|\measuredangle RPQ| = \frac{1}{2} |\measuredangle RIQ| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } k);\\<br />
|\measuredangle QSR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br />
|\measuredangle QTR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br />
|\measuredangle RIQ| + |\measuredangle QO_1R| = 180^\circ &\ \textrm{(przeciwległe kąty czworokąta } IQO_1R \textrm{ o pozostałych dwóch kątach prostych)}.<br />
\end{split}<br />
\]

Z tych równości otrzymujemy z kolei związek

\[<br />
|\measuredangle QSR| = |\measuredangle QTR| = 90^\circ -|\measuredangle RPQ|,<br />
\]

który oznacza, że trójkąty $ PRS $ i $ PQT $ są prostokątne: $ PT \bot SU $, $ PS \bot TY $.

Tak więc kąty $ PRU $ i $ PQV $ są proste. Są to kąty wpisane w okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ i muszą być oparte na półokręgach. Zatem odcinki $ PU $ i $ PV $ są średnicami tych okręgów; są wobec tego prostopadłe do wspólnej stycznej (prostej $ PI $). Stąd wynika współliniowość punktów $ U $, $ P $, $ V $.

XL OM - III - Zadanie 1

Do obrad przy okrągłym stole zasiadła parzysta liczba osób. Po przerwie obiadowej uczestnicy zajęli miejsca przy stole w sposób dowolny. Udowodnić, że istnieją dwie osoby przedzielone tą samą, co przed przerwą, liczbą osób.

XL OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ przez punkt wewnętrzny $ P $ poprowadzono proste $ CP $, $ AP $, $ BP $ przecinające boki $ AB $, $ BC $, $ CA $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $. Udowodnić, że jeśli w czworokąty $ AKPM $ i $ KBLP $ można wpisać koła, to w czworokąt $ LCMP $ też można wpisać koło.

XL OM - II - Zadanie 5

Dany jest ciąg $ (c_n) $ liczb naturalnych określony rekurencyjnie: $ c_1 = 2 $, $ c_{n+1} = \left[ \frac{3}{2}c_n\right] $. Udowodnić, że wśród wyrazów tego ciągu jest nieskończenie wiele liczb parzystych i nieskończenie wiele liczb nieparzystych.

XL OM - II - Zadanie 4

Dane są liczby całkowite $ a_1, a_2, \ldots , a_{11} $ . Udowodnić, że istnieje taki niezerowy ciąg $ x_1, x_2, \ldots, x_{11} $ o wyrazach ze zbioru $ \{-1,0,1\} $, że liczba $ x_1a_1 + \ldots x_{11}a_{11} $ jest podzielna przez 1989.

XL OM - II - Zadanie 3

Dany jest kąt trójścienny $ OABC $ o wierzchołku $ O $ oraz punkt $ P $ w jego wnętrzu. Niech $ V $ będzie objętością równoległościanu o dwóch wierzchołkach w punktach $ O $ i $ P $, którego trzy krawędzie są zawarte w półprostych $ OA^{\rightarrow} $, $ OB^{\rightarrow} $, $ OC^{\rightarrow} $. Obliczyć minimalną objętość czworościanu, którego trzy ściany są zawarte w ścianach kąta trójściennego $ OABC $, a czwarta ściana zawiera punkt $ P $.

Subskrybuje zawartość