1987-1988

XXXIX OM - III - Zadanie 6

Obliczyć maksymalną objętość czworościanu zawartego w półkuli o promieniu długości 1.

XXXIX OM - III - Zadanie 5

Ciąg $ (a_n) $ określony Jest warunkami $ a_1 = a_2 = a_3 = 1 $, $ a_{n+1} = a_{n+2}a__{n+1}+a_n $ ($ n \geq 1 $). Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej $ r $ istnieje taka liczba $ s $, że $ a_s $ jest podzielne przez $ r $.

XXXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $ d $ będzie liczbą całkowitą dodatnią, a $ f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R} $ taką funkcją ciągłą, że $ f(0) = f(d) $. Udowodnić, że istnieje $ x \in \langle 0; d-1\rangle $ takie, że $ f{x) = -f(x + 1) $.

XXXIX OM - III - Zadanie 3

Niech $ W $ będzie wielokątem (niekoniecznie wypukłym) mającym środek symetrii. Udowodnić, że istnieje taki równoległobok zawierający $ W $, że środki boków tego równoległoboku należą do brzegu $ W $.

XXXIX OM - III - Zadanie 2

Dla permutacji $ P=(p_1, \ldots, p_n) $ zbioru $ \{1,2,\ldots, n\} $ definiujemy $ X(P) $ jako liczbę wyrazów $ p_s $ permutacji $ P $ mających następującą własność: dla każdego $ i < s $ zachodzi nierówność $ p_i < p_s $. Zakładając, że wszystkie permutacje są jednakowo prawdopodobnymi zdarzeniami losowymi, obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej $ X $.

XXXIX OM - III - Zadanie 1

Liczby $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ należące do przedziału $ \langle 0; 1\rangle $ spełniają warunek

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i = m+r,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą całkowitą, $ r \in \langle 0; 1) $. Dowieść, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq m+r^2<br />
\]

XXXIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest wielościan wypukły o $ k $ ścianach $ S_1, \ldots, S_k $. Oznaczmy wektor długości 1 prostopadły do ściany $ S_i $ ($ i = 1, \ldots, k $) zwrócony na zewnątrz danego wielościanu przez $ \overrrightarrow{n_i} $, natomiast pole powierzchni tej ściany przez $ P_i $. Dowieść, że

\[<br />
\sum_{i=1}^k P_i \cdot \overrightarrow{n_i} = \overrightarrow{0}.<br />
\]

XXXIX OM - II - Zadanie 5

Rozstrzygnąć, czy każdy prostokąt, który można pokryć 25 kołami o promieniu 2 można też pokryć 100 kołami o promieniu 1.

XXXIX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ n^{2n} - n^{n+2} + n^n - 1 $ jest podzielna przez $ (n - 1 )^3 $.

XXXIX OM - II - Zadanie 3

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $ rozważamy punkt $ P $ i jego rzuty $ L, M, N $ odpowiednio na boki $ BC, CA, AB $. Wyznaczyć taki punkt $ P $, dla którego suma $ |BL|^2 + |CM|^2 + |AN|^2 $ jest najmniejsza.

Subskrybuje zawartość