1986-1987

XXXVIII OM - III - Zadanie 6

Płaszczyznę pokryto siatką sześciokątów foremnych o boku 1. Za drogę na siatce uważamy taki ciąg boków sześciokątów siatki, że każde dwa kolejne mają wspólny koniec. Drogę na siatce nazwiemy najkrótszą, jeżeli jej końców nie można połączyć drogą krótszą. Znaleźć liczbę najkrótszych dróg na siatce o ustalonym początku i długości 60.

XXXVIII OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną $ n $, dla której liczba $ n^2-n+11 $ jest iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

XXXVIII OM - III - Zadanie 4

W zbiorze czworościanów o polu podstawy 1, polu powierzchni całkowitej 4 i mających równe kąty nachylenia ścian bocznych do podstawy znaleźć czworościan o maksymalnej objętości.

XXXVIII OM - III - Zadanie 3

Dany jest wielomian $ W $ o współczynnikach całkowitych nieujemnych. Określamy ciąg liczb $ (p_n) $, gdzie $ p_n $ jest sumą cyfr liczby $ W(n) $. Dowieść, że pewna liczba występuje w ciągu $ (p_n) $ nieskończenie wiele razy.

XXXVIII OM - III - Zadanie 2

W okrąg o długości 1 wpisano $ n $-kąt foremny. Spośród łuków okręgu mających końce w wierzchołkach tego wielokąta losujemy ze zwracaniem pięć łuków $ L_1, \ldots, L_5 $, przy czym dla wszystkich łuków prawdopodobieństwo wylosowania jest jednakowe. Wykazać, że wartość oczekiwana długości części wspólnej $ L_1\cap L_2 \cap L_3 \cap L_4 \cap L_5 $ nie zależy od $ n $.

XXXVIII OM - III - Zadanie 1

W kwadracie o boku 1 znajduje się $ n $ punktów ($ n > 2 $). Dowieść, że można je ponumerować $ P_1, P_2, ..., P_n $ tak, by \sum_{i=1}^n |P_{i-1}P_i|^2 \leq 4 (przyjmujemy $ P_0=P_n $).

XXXVIII OM - II - Zadanie 6

Dowolnemu czworokątowi $ ABCD $ przyporządkowujemy środki okręgów opisanych na trójkątach $ BCD $, $ CDA $, $ DAB $, $ ABC $. Udowodnić, że jeżeli wierzchołki czworokąta wypukłego $ Q $ nie leżą na okręgu, to

a) cztery punkty przyporządkowane w powyższy sposób czworokątowi Q są wierzchołkami czworokąta wypukłego. Oznaczmy ten czworokąt przez $ t(Q) $,

b) wierzchołki czworokąta $ t(Q) $ nie leżą na okręgu,

c) czworokąty $ Q $ i $ t(t(Q) $ są podobne.

XXXVIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $ p $ i liczby naturalne $ x, y $, dla których $ p^x—y^3 = 1 $.

XXXVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych $ a, b $, dla których wielomiany $ x^4 + 2ax^2 + 4bx + a^2 $ i $ x^3 + ax - b $ mają dwa różne wspólne pierwiastki rzeczywiste.

XXXVIII OM - II - Zadanie 3

Na szachownicy o wymiarach 1000 na 1000 i polach pokolorowanych w zwykły sposób na biało i czarno jest dany zbiór A złożony z 1000 pól. Każde dwa pola zbioru A można połączyć ciągiem pól zbioru A tak, by kolejne pola miały wspólny bok. Dowieść, że w zbiorze A jest co najmniej 250 pól białych.

Subskrybuje zawartość