1985-1986

XXXVII OM - III - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ punkty $ K $ i $ L $ są rzutami prostokątnymi wierzchołków $ B $ i $ C $ na dwusieczną kąta $ BAC $, punkt $ M $ jest spodkiem wysokości trójkąta $ ABC $ poprowadzonej z wierzchołka $ A $, a punkt $ N $ jest środkiem boku $ BC $. Wykazać, że punkty $ K $, $ L $, $ M $ i $ N $ leżą na jednym okręgu.

XXXVII OM - III - Zadanie 5

W turnieju szachowym uczestniczy $ 2n $ ($ n > 1 $) zawodników, przy czym każdych dwóch spośród nich rozgrywa między sobą co najwyżej jedną partię. Dowieść, że taki przebieg rozgrywek, w którym żadna trójka uczestników nie rozgrywa trzech partii między sobą jest możliwy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wszystkich partii rozegranych w turnieju nie przekracza $ n^2 $.

XXXVII OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć te liczby całkowite nieujemne $ n $, dla których istnieje taki wielomian $ f $ stopnia $ n $ o współczynnikach rzeczywistych, że $ f(x) > f'(x) $ dla każdego rzeczywistego $ x $.

XXXVII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $ p $ jest liczbą pierwszą, a liczba całkowita $ m $ spełnia nierówność $ 0 \leq m < p—1 $, to $ p $ dzieli liczbę $ \sum_{j=1}^p j^m $.

XXXVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć maksimum objętości czworościanów mających trzy ściany o polu 1.

XXXVII OM - III - Zadanie 1

Kwadrat o boku długości 1 pokryto $ m^2 $ prostokątami. Dowieść, że obwód pewnego z tych prostokątów jest większy lub równy $ 4/m $.

XXXVII OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ wybrano punkt $ A' $ na boku $ BC $, punkt $ B' $ na boku $ AC $, punkt $ C' $ na boku $ AB $ tak, że proste $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w jednym punkcie, czyli równoważnie $ |BA'| \cdot |CB'| \cdot |AC'| = |CA'| \cdot |AB'| \cdot |BC'| $. Udowodnić, że pole trójkąta $ A'B'C' $ jest nie większe od $ 1/4 $ pola trójkąta $ ABC $.

XXXVII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $ f $ nie równy tożsamościowo zeru spełnia dla każdego rzeczywistego $ x $ równość $ f(x)f(x + 3) = f(x^2 + x + 3) $, to nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

XXXVII OM - II - Zadanie 4

Liczby naturalne $ x, y, z $, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie

\[<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}<br />
\]

Dowieść, że $ x + y $ jest kwadratem liczby naturalnej.

XXXVII OM - II - Zadanie 3

Niech S będzie sferą opisaną na czworościanie foremnym o krawędzi długości większej od 1. Sferę $ S $ przedstawiono w postaci sumy czterech zbiorów. Udowodnić, że do pewnego z tych zbiorów należą takie punkty $ P $, $ Q $, że długość odcinka $ PQ $ przekracza 1.

Subskrybuje zawartość