1984-1985

XXXVI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w wielościanie wypukłym mającym $ k $ ścian istnieje więcej niż $ k/2 $ ścian, z których żadne dwie nie mają wspólnej krawędzi, to w wielościan ten nie można wpisać kuli.

XXXVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ P $ będzie takim wielomianem dwóch zmiennych, że dla każdej liczby rzeczywistej $ t $ zachodzi równość $ P(\cos t, \sin t) = 0 $. Dowieść, że istnieje taki wielomian $ Q $, że ma miejsce tożsamość

\[<br />
P(x,y)=(x^2-y^2-1)Q(x,y).<br />
\]

XXXVI OM - III - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ dany jest punkt odległy odpowiednio o $ d_a, d_b, d_c $ od prostych $ BC, CA, AB $. Niech $ r $ będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $. Udowodnić, że

\[<br />
\frac{}{\frac{1}{d_a} + \frac{1}{d_b} + \frac{1}{d_c}} <r < \frac{1}{2}(d_a + d_b + d_c)<br />
\]

XXXVI OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełnia dla każdego $ x \in \mathbb{R} $ równość $ f(3x) = 3f(x) — 4(f(x))^3 $ i jest ciągła w punkcie 0, to wszystkie jej wartości należą do przedziału $ \langle -1;1\rangle $.

XXXVI OM - III - Zadanie 2

Dany jest kwadrat o boku długości 1 oraz liczby dodatnie $ a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n $ nie większe od 1 takie, że $ a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n > 100 $. Udowodnić, że można pokryć ten kwadrat prostokątami $ P_i $ ($ i = 1,2,\ldots,n $) o bokach długości $ a_i, b_i $ równoległych do boków kwadratu.

XXXVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć największą liczbę $ k $ taką, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ istnieje co najmniej $ k $ liczb naturalnych większych od $ n $, mniejszych od $ n+17 $ i względnie pierwszych z iloczynem $ n(n+17) $.

XXXVI OM - II - Zadanie 6

W przestrzeni dane są różne punkty $ A, B, C_0, C_1, C_2 $, przy czym $ |AC_i| = 2 |BC_i| $ dla $ i = 0,1,2 $ oraz $ |C_1C_2|=\frac{4}{3}|AB| $. Dowieść, że kąt $ C_1C_0C_2 $, jest prosty i punkty $ A, B, C_1, C_2 $ leżą na jednej płaszczyźnie.

XXXVI OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że dla liczby naturalnej $ n $ większej od 1 następujące warunki są równoważne:

a) $ n $ jest liczbą parzystą,

b) istnieje permutacja $ (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}) $ zbioru $ \{0,1,2,\ldots,n—1\} $ o tej własności, że ciąg reszt z dzielenia przez $ n $ liczb $ a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, a_0 + a_1 + a_2 +\ldots a_{n-1} $ jest też permutacją tego zbioru.

XXXVI OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli dla liczb naturalnych $ a, b $ liczba $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} $ jest wymierna, to $ a, b $ są sześcianami liczb naturalnych.

XXXVI OM - II - Zadanie 3

Niech $ L $ będzie zbiorem wszystkich łamanych $ ABCDA $, gdzie $ A, B, C, D $ są różnymi wierzchołkami ustalonego 1985-kąta foremnego. Ze zbioru $ L $ losowo wybieramy łamaną. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest ona brzegiem czworokąta wypukłego.

Subskrybuje zawartość