1983-1984

XXXV OM - III - Zadanie 6

Miejscowości $ P_1,\ldots, P_{1025} $ są obsługiwane przez linie lotnicze $ A_1, \ldots, A_{10} $, przy czym dla każdych miejscowości $ P_k $ i $ P_m $ ($ k \neq m $) istnieje taka linia, której samoloty latają bezpośrednio z $ P_k $ do $ P_m $ oraz bezpośrednio z $ P_m $ do $ P_k $. Udowodnić, że któraś z tych linii może oferować podróż z nieparzystą liczbą lądowań rozpoczynającą i kończącą się w tej samej miejscowości.

XXXV OM - III - Zadanie 5

Sześciokąt foremny o boku 1 zawarty jest w sumie mnogościowej sześciu kół mających średnicę 1. Wykazać, że żaden z wierzchołków sześciokąta nie należy do dwóch z tych kół.

XXXV OM - III - Zadanie 4

Rzucamy $ n $-krotnie monetą i wynik zapisujemy w postaci ciągu $ (a_1, a_2, \ldots, a_n) $, gdzie $ a_i = 1 $ lub $ a_i = 2 $ w zależności od tego, czy w $ i $-tym rzucie wypadł orzeł, czy reszka. Przyjmujemy $ b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j $ dla $ j = 1, 2,\ldots, n $, $ p(n) $ jest prawdopodobieństwem tego, że w ciągu $ (b_1, b_2, \ldots, b_n) $ wystąpi liczba $ n $. Wyznaczyć $ p(n) $ w zależności od $ p(n-1) $ i $ p(n-2) $.

XXXV OM - III - Zadanie 3

Dany jest ośmiościan foremny $ W $ o środku $ O $. W płaszczyźnie $ P $ przechodzącej przez punkt $ O $ wybrano koła $ K(O, r_1) $ i $ K (O, r_2) $ o środku $ O $ i promieniach $ r_1 $ i $ r_2 $, odpowiednio. Wykazać, że jeżeli

\[<br />
K(O, r_1) \subset P\cap W \subset K(O, r_2),<br />
\]

to

\[<br />
\frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.<br />
\]

XXXV OM - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ oraz każdego $ i = 1, 2, \ldots, n $, $ j = 1, 2, \ldots $ określamy

\[<br />
a_{j,i} = \begin{cases}<br />
1 &\text{ dla }j=i \\<br />
0 &\text{ dla }j\neq i<br />
\end{cases}<br />
\]

natomiast dla $ i = n + 1,\ldots, 2n $ $ j = 1,2,\ldots, n $

\[<br />
a_{j,i} = -\frac{1}{n}.<br />
\]

Udowodnić, że dla każdej permutacji $ p $ zbioru $ \{1, 2,\ldots, 2n\} $ spełniona jest nierówność

\[<br />
\sum_{j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{j, p(k)}\right| \geq \frac{n}{2}.<br />
\]

XXXV OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć liczbę takich funkcji $ f $ odwzorowujących zbiór $ n $-elementowy w ten sam zbiór, że $ f^{n-1} $ jest funkcją stałą, zaś $ f^{n-2} $ nie jest funkcją stałą, gdzie $ f^k = f\circ f \circ \ldots \circ f $, $ n $ jest ustaloną liczbą naturalną większą od 2.

XXXV OM - II - Zadanie 6

Ciąg $ (x_n) $ określony jest wzorami

\[<br />
x_1=c,\; x_{n+1} = cx_n + \sqrt{(c^2-1)(x_n^2-1)} \quad\text{ dla }\quad n=1,2,\ldots<br />
\]

Dowieść, że jeśli $ c $ jest liczbą naturalną, to wszystkie liczby $ x_n $ są naturalne.

XXXV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć kres dolny pól sześciokątów wypukłych, których wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite.

XXXV OM - II - Zadanie 4

W zawodach Olimpiady Matematycznej bierze udział $ 3n $ uczestników. Mają oni wyznaczone miejsca w trzech rzędach, po $ n $ miejsc w każdym i są wpuszczani na salę pojedynczo, po czym natychmiast zajmują swoje miejsca. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że aż do momentu zajęcia miejsca przez ostatniego zawodnika, w każdej chwili dla każdych dwóch rzędów różnica liczb siedzących w nich zawodników jest nie większa od 1.

XXXV OM - II - Zadanie 3

Dane są ciągi $ (x_1, x_2, \ldots, x_n) $, $ (y_1, y_2, \ldots, y_n) $ o wyrazach dodatnich. Udowodnić, że istnieje taka permutacja $ p $ zbioru $ \{1, 2, \ldots, n\} $, że dla każdego rzeczywistego $ t $ ciąg

\[<br />
(x_{p(1)}+ty_{p(1)}, x_{p(2)}+ty_{p(2)}, \ldots, x_{p(n)}+ty_{p(n)})<br />
\]

ma następującą własność: istnieje taka liczba $ k $, że $ 1 \leq k \leq n $ oraz wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach mniejszych od $ k $ są jednakowego znaku i wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach nie mniejszych od $ k $ są jednakowego znaku.

Subskrybuje zawartość