1982-1983

XXXIV OM - III - Zadanie 6

Wykazać, że jeśli wszystkie kąty dwuścienne czworościanu są ostre, to wszystkie jego ściany są trójkątami ostrokątnymi.

XXXIV OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są wektory $ \overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3} $ o długości 1. Dowieść, że można tak wybrać liczby $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 $ równe 1 lub 2, że długość wektora $ \varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3} $ jest nie mniejsza od 2.

XXXIV OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $ a, b, c, d $ spełniają równość $ ab = cd $, to

\[<br />
\frac{\mathrm{NWD}(a, c)\cdot \mathrm{NWD}(a, d)}{\mathrm{NWD}(a, b, c, d)} = a.<br />
\]

XXXIV - III - Zadanie 3

Rozważamy grę jednoosobową na nieskończonej szachownicy opartą na następującej regule. Jeżeli na dwóch polach mających wspólny bok stoją plony i następne pole jest puste (trzy omawiane pola leżą na jednej linii poziomej lub pionowej), to możemy te piony usunąć i postawić jeden pion na trzecim z tych pól (które było puste).
Udowodnić, że jeżeli w pozycji początkowej piony wypełniają prostokąt o liczbie pól podzielnej przez 3, to nie możemy otrzymać pozycji, w której na szachownicy jest tylko jeden pion.

XXXIV OM - III - Zadanie 2

Dana jest liczba niewymierna $ a $ należąca do przedziału $ (0,1) $ i liczba naturalna $ N $. Udowodnić, że istnieją takie liczby naturalne $ p, q, r, s $, że

\[<br />
\frac{p}{q} < a < \frac{r}{s}, \; \frac{r}{s} - \frac{p}{q} < \frac{1}{N} \quad \text{oraz} \quad rq-ps=1.<br />
\]

XXXIV OM - III - Zadanie 1

Na płaszczyźnie dany jest $ n $-kąt wypukły $ P_1, \ldots, P_n $ oraz punkt $ Q $ w jego wnętrzu nie należący do żadnej przekątnej. Dowieść, że jeśli $ n $ jest liczbą parzystą, to liczba trójkątów $ P_iP_jP_k $ ($ i,j,k= 1,2,\ldots,n $), które zawierają punkt $ Q $ jest parzysta.

XXXIV OM - II - Zadanie 6

Dla danej liczby $ n $ oznaczmy przez $ p_n $ prawdopodobieństwo tego, że przy losowym wyborze pary liczb całkowitych $ k, m $ spełniających warunki $ 0 \leq k \leq m \leq 2^n $ (wybór każdej pary jest jednakowo prawdopodobny) liczba $ \binom{m}{k} $ będzie parzysta. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.

XXXIV OM - II - Zadanie 5

Dwusieczne kątów $ CAB, ABC, BCA $ trójkąta $ ABC $ przecinają okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach $ K, L, M $. Dowieść, że

\[<br />
AK+BL+CM > AB+BC+CA.<br />
\]

XXXIV OM - II - Zadanie 4

Niech $ a(k) $ będzie największą liczbą nieparzystą, przez którą dzieli się $ k $. Udowodnić, że

\[<br />
\sum_{k=1}^{2^n} a(k) = \frac{1}{3}(4^n+2).<br />
\]

XXXIV OM - II - Zadanie 3

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $, przy czym $ \measuredangle PAC = \measuredangle PBC $. Punkty $ L $ i $ M $ są odpowiednio rzutami $ P $ na proste $ BC $ i $ CA $, $ D $ jest środkiem odcinka $ AB $. Dowieść, że $ DL = DM $.

Subskrybuje zawartość