1981-1982

XXXIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że w dowolnym czworościanie suma wszystkich kątów dwuściennych jest większa od $ 2\pi $.

XXXIII OM - III - Zadanie 5

Liczby całkowite $ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n = x_0, x_{n+1} = x_1 $ spełniają dla $ k = 1, 2, \ldots, n $ nierówność

\[<br />
(-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0.<br />
\]

Dowieść, że różnica

\[<br />
\sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k|<br />
\]

dzieli się przez 4.

XXXIII OM - III - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów. Dowieść, że zbiór ten można pokryć otwartymi kwadratami rozłącznymi $ Q_1, Q_2, \ldots, Q_n $, tak, że

\[<br />
1\leq \frac{N_j}{S_j} \leq 4<br />
\]

($ j = 1, 2,\ldots, n $) gdzie $ N_j $ jest liczbą punktów zbioru leżących w kwadracie $ Q_j $, zaś $ S_j $ jest polem kwadratu $ Q_j $.

XXXIII OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie pary liczb dodatnich $ x, y $ spełniające układ równań

\[<br />
\begin{split}<br />
x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\<br />
x^3 + y^3 &= a^3 + b^3<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ a, b $ są danymi liczbami dodatnimi.

XXXIII OM - III - Zadanie 2

W czworokącie $ ABCD $ wpisanym w koło prosta przechodząca przez środek boku $ \overline{AB} $ i punkt przecięcia przekątnych jest prostopadła do boku $ \overline{CD} $. Udowodnić, że boki $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $ są równoległe lub przekątne czworokąta są prostopadłe.

XXXIII OM - III - Zadanie 1

Wskazać taki sposób rozmieszczenia przy okrągłym stole $ n $ dziewcząt i $ n $ chłopców, aby liczba $ d_n - c_n $ była największa, gdzie $ d_n $ jest liczbą dziewcząt, siedzących między dwoma chłopcami, zaś $ c_n $ - liczbą chłopców siedzących, między dwiema dziewczętami.

XXXIII OM - II - Zadanie 6

Dany jest takt skończony zbiór $ B $ punktów przestrzeni, że każde dwie odległości między punktami tego zbioru są różne. Każdy punkt zbioru $ B $ łączymy odcinkiem z najbliższym mu punktem zbioru $ B $. Otrzymamy w ten sposób zbiór odcinków, z których jeden (dowolnie wybrany) malujemy na czerwono, wszystkie pozostałe odcinki malujemy na zielono. Dowieść, że istnieją takie dwa punkty zbioru $ B $, których nie można połączyć łamaną złożoną z odcinków pomalowanych na zielono.

XXXIII OM - II - Zadanie 5

Niech $ q $ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba

\[<br />
q^{(q+1)^n}+1<br />
\]

dzieli się przez $ (q + 1)^{n+1} $ ale nie dzieli się przez $ (q + 1)^{n+2} $.

XXXIII OM - II - Zadanie 4

Niech $ A $ będzie skończonym zbiorem punktów przestrzeni mającym tą własność, że dla dowolnych jego punktów $ P, Q $ istnieje izometria przestrzeni przeprowadzająca zbiór $ A $ na zbiór $ A $ oraz punkt $ P $ na punkt $ Q $. Udowodnić że istnieje sfera przechodząca przez wszystkie punkty zbioru $ A $.

XXXIII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ zachodzi nierówność

\[<br />
\log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \log_n 6 \ldots \log_n (2n - 2) \leq 1.<br />
\]
Subskrybuje zawartość