1980-1981

XXXII - III - Zadanie 6

W czworościanie o objętości $ V $ suma kwadratów długości wszystkich krawędzi jest równa $ S $. Dowieść, że

\[<br />
V \leq \frac{S\sqrt{S}}{72 \sqrt{3}}<br />
\]

XXXII - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $ (x,y) $ spełniające równanie

\[<br />
x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1).<br />
\]

XXXII - III - Zadanie 4

Na stole leży $ n $ żetonów oznaczonych liczbami całkowitymi. Jeśli wśród tych żetonów znajdują się dwa oznaczone równymi liczbami, np. liczbą $ k $, to zastępujemy je jednym żetonem z liczbą $ k+1 $ i jednym z liczbą $ k-1 $. Udowodnić, że po skończonej (nieujemnej) liczbie takich zmian wszystkie żetony będą oznaczone różnymi liczbami.

XXXII - III - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $ n $ oraz liczb rzeczywistych $ \alpha $, $ x $ spełniających nierówności $ \alpha^{n-1} \leq x \leq 1 $, $ 0 < \alpha <1 $ zachodzi nierówność

\[<br />
\prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|\leq \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}<br />
\]

XXXII - III - Zadanie 2

Symetralne boków $ \overline{AB} $ i $ \overline{AC} $ trójkąta $ ABC $ przecinają prostą zawierającą bok $ \overline{BC} $ w punktach $ X $ i $ Y $. Dowieść, że $ BC = XY $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \tan B \cdot \tan C= 3 $ lub $ \tan B\cdot \tan C=-1 $.

XXXII - III - Zadanie 1

W przestrzeni dane są dwie przecinające się proste $ a $ i $ b $. Rozważamy wszystkie pary płaszczyzn $ \alpha $ i $ \beta $ prostopadłych i takich, że $ a\subset \alpha $, $ b\subset \beta $. Dowieść, że istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta $ \alpha \cap \beta $ dla pewnych $ \alpha, \beta $.

XXXII - II - Zadanie 6

Pola powierzchni podstaw danego ostrosłupa trójkątnego ściętego równe są $ B_1 $ i $ B_2 $. Ostrosłup ten można tak przeciąć płaszczyzną równoległą do podstaw, że w każdą z otrzymanych części można wpisać kulę. Udowodnić, że pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa równe jest $ (\sqrt{B_1} + \sqrt{B_2})(\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2})^2 $.

XXXII - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są dwa zbiory rozłączne $ A $ i $ B $, z których każdy składa się z $ n $ punktów, przy czym żadne trzy punkty zbioru $ A \cup B $ nie leżą na jednej prostej. Udowodnić, że istnieje zbiór $ n $ rozłącznych odcinków domkniętych, z których każdy ma jeden koniec w zbiorze $ A $, drugi zaś w zbiorze $ B $.

XXXII - II - Zadanie 4

Dane są liczby naturalne $ k, n $. Określamy indukcyjnie dwa ciągi liczb $ (a_j) $ i $ (r_j) $ w sposób następujący:
Krok pierwszy: dzielimy $ k $ przez $ n $ i otrzymujemy iloraz $ a_1 $ i resztę $ r_i $,
krok j-ty: dzielimy $ k+r_{j-1} $ przez $ n $ i otrzymujemy iloraz $ a_j $ i resztę $ r_j $. Obliczyć sumę $ a_1 + \ldots + a_n $.

XXXII - II - Zadanie 3

Udowodnić, że nie istnieje funkcja ciągła $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniająca Warunek $ f(f(x)) = - x $ dla każdego $ x $.

Subskrybuje zawartość