1979-1980

XXXI - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br />
\sum_{s=n}^{2n} 2^{2n-s} \binom{s}{n} = 2^{2n}<br />
\]

XXXI - III - Zadanie 5

W czworościanie pola sześciu trójkątów, których bokami są krawędzie, a wierzchołkami środki przeciwległych krawędzi czworościanu, są równe. Udowodnić, że czworościan ten jest foremny.

XXXI - III - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdego wielomianu $ W $ trzech zmiennych istnieją takie wielomiany $ U $ i $ V $, że tożsamościowo zachodzą równości

\[<br />
\begin{split}<br />
W(x, y,z) = U (x, y, z) + V (x, y, z),<br />
U (x, y, z) = U (y, x, z),<br />
V(x, y,z) = -V(x, z, y).<br />
\end{split}<br />
\]

XXXI - III - Zadanie 3

Obieramy liczbę całkowitą $ k $ z przedziału $ [1, 99] $. Następnie rzucamy 100 razy monetą (wyniki rzutów są niezależne). Niech

\[<br />
\varepsilon_j = \begin{cases}<br />
1, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie orzeł,} \\<br />
2, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie reszka.}<br />
\end{cases}<br />
\]

Oznaczmy przez $ M_k $ zdarzenie polegające na tym, że istnieje taka liczba $ i $, że $ k + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_i = 100 $. Jakie powinno być $ k $, aby prawdopodobieństwo zdarzenia $ M_k $ było największe?

XXXI - III - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnej liczby $ n $ istnieje rozwiązanie równania

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 = 3abc<br />
\]

w liczbach naturalnych $ a, b, c $ większych od $ n $.

XXXI - III - Zadanie 1

Obliczyć pole ośmiokąta wpisanego w okrąg wiedząc, że każdy z czterech kolejnych boków tego ośmiokąta ma długość 1, a każdy z czterech pozostałych ma długość 2.

XXXI - II - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli punkt $ P $ przebiega okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $, to wartość wyrażenia $ a \cdot PA^2 + b \cdot PB^2 + c \cdot PC^2 $ jest stała ($ a, b, c $ są odpowiednio długościami boków leżących naprzeciw wierzchołków $ A, B, C $).

XXXI - II - Zadanie 5

Wypisujemy kolejno wyrazy ciągu $ (n_1, n_2, \ldots, n_k) $, gdzie $ n_1 = 1000 $, zaś $ n_j $ dla $ j > 1 $ jest liczbą całkowitą wybraną losowo z przedziału $ [0, n_{j-1} - 1] $ (wybór każdej liczby z tego przedziału jest jednakowo prawdopodobny). Kończymy wypisywanie, gdy wybrana liczba jest zerem, tzn. $ n_{k-1} $, $ n_k = 0 $, Długość $ k $ ciągu $ (n_1, n_2, \ldots, n_k) $ jest zmienną losową. Udowodnić, że wartość oczekiwana tej zmiennej losowej jest większa od 7.

XXXI - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $ a $ i $ b $ są liczbami rzeczywistymi oraz wielomian $ ax^3 - ax^2 + 9bx - b $ ma trzy pierwiastki dodatnie, to są one równe.

XXXI - II - Zadanie 3

Dana jest w przestrzeni kula $ K $ i punkty $ A, B $ poza kulą takie, że odcinek $ AB $ przecina wnętrze kuli. Udowodnić, że zbiór tych punktów $ P $, dla których odcinki $ AP $ i $ BP $ są styczne do kuli $ K $, zawarty jest w pewnej płaszczyźnie.

Subskrybuje zawartość