1978-1979

XXX OM - III - Zadanie 6

Wielomian $ w $ stopnia $ n $ ($ n>1 $) ma $ n $ różnych pierwiastków Wnczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $. Udowodnić, że

\[<br />
\frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0.<br />
\]

XXX OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

XXX OM - III - Zadanie 4

Dane są liczby rzeczywiste $ A > 1 $ i $ B > 1 $ oraz ciąg $ (x_n) $ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $ (y_n) $ liczb z przedziału $ [1, A] $, że

\[<br />
\frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots .<br />
\]

XXX OM - III - Zadanie 3

Doświadczenie polega na wykonaniu $ n $ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $ i $-tej próbie wynosi $ p_i $. Niech $ r_k $ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $ k $ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k.<br />
\]

XXX OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

XXX OM - III - Zadanie 1

Dany jest zbiór $ \{r_1, r_2, \ldots, r_k\} $ liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez liczbę naturalną $ m $ dają różne reszty. Udowodnić, że jeżeli $ k > \frac{m}{2} $, to dla każdej liczby całkowitej $ n $ istnieją takie $ i $ oraz $ j $ ($ n $ niekoniecznie różne), że liczba $ r_i + r_j - n $ jest podzielna przez $ m $.

XXX OM - II - Zadanie 6

Na boku $ \overline{DC} $ prostokąta $ ABCD $, w którym $ \frac{AB}{AD} = \sqrt{2} $ zbudowano zewnętrznie półokrąg. Dowolny punkt $ M $ półokręgu połączono odcinkami z $ A $ i $ B $ otrzymując na $ \oveline{DC} $ odpowiednio punkty $ K $ i $ L $. Dowieść, że $ DL^2 + KC^2 = AB^2 $.

XXX OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że wśród każdych dziesięciu kolejnych liczb naturalnych istnieje taka, która jest względnie pierwsza z każdą z pozostałych dziewięciu.

XXX OM - II - Zadanie 4

Niech $ S_k $ będzie symetrią płaszczyzny względem prostej $ k $. Udowodnić, że dla każdych prostych $ a, b, c $ zawartych w jednej płaszczyźnie zachodzi równość

\[<br />
S_aS_bS_cS_aS_bS_cS_bS_cS_aS_bS_cS_a = S_bS_cS_aS_bS_cS_aS_aS_bS_cS_aS_bS_c<br />
\]

XXX OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni dana jest prosta $ k $ oraz sześcian o wierzchołku $ M $ i krawędziach $ \overline{MA} $, $ \overline{MB} $, $ \overline{MC} $, długości 1. Udowodnić, że długość rzutu prostokątnego krawędzi $ MA $ na prostą $ k $ jest równa polu rzutu prostokątnego kwadratu o bokach $ MB $ i $ MC $ na płaszczyznę prostopadłą do prostej $ k $.

Subskrybuje zawartość