1977-1978

XXIX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w dowolnym czworościanie $ h_1, h_2, h_3, h_4 $ są długościami czterech wysokości, $ d_1, d_2, d_3 $ zaś odległościami trzech par prostych zawierających przeciwległe krawędzie, to

\[<br />
\frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} + \frac{1}{h_3^2} + \frac{1}{h_4^2} =<br />
\frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2} + \frac{1}{d_3^2}<br />
\]

XXIX OM - III - Zadanie 5

Dana jest liczba rzeczywista $ a $. Definiujemy ciąg $ (a_n) $ w sposób następujący

\[<br />
a_1 = a,<br />
\]
\[<br />
a_{n+1} =<br />
\begin{cases}<br />
\frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right), & \mathrm{ jeżeli }a_n \neq 0, \\<br />
0, &\mathrm{ jeżeli } a_n = 0.<br />
\end{cases}<br />
\]

Udowodnić, że ciąg $ (a_n) $ ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych i nieskończenie wiele wyrazów niedodatnich.

XXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $ X $ będzie zbiorem $ n $-elementowym. Udowodnić, że suma liczb elementów zbiorów $ A \cap B $ rozciągnięta na wszystkie pary uporządkowane $ (A, B) $ podzbiorów zbioru $ X $ równa jest $ n\cdot 4^{n-1} $.

XXIX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli

\[<br />
x^{2m} \cdot P(x, y) + y^{2m} \cdot Q(x, y) = (x+y)^{2m} \cdot R(x, y),<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną, $ P, Q, R $ są wielomianami stopni mniejszych od $ m $, to każdy z tych wielomianów jest wielomianem zerowym.
Uwaga. Stopniem wielomianu niezerowego $ W(x, y) = \sum a_{ij}x^iy_^j $ nazywamy maksymalną liczbę całkowitą $ i + j $, dla której $ a_{ij}\neq 0 $. Za stopień wielomianu zerowego przyjmujemy liczbę 0.

XXIX OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są punkty o współrzędnych całkowitych, z których co najmniej jedna jest niepodzielna przez A. Dowieść, że punktów tych nie można tak połączyć w pary, aby odległość punktów każdej pary była równa 1; to znaczy nieskończonej szachownicy z wyciętymi polami o współrzędnych podzielnych przez 4 nie można pokryć kostkami domina.

XXIX OM - III - Zadanie 1

W danym kącie wypukłym na płaszczyźnie biegnie promień światła odbijając się od ramion kąta zgodnie z zasadą, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Promień, który trafi w wierzchołek kąta, zostaje pochłonięty. Udowodnić, że istnieje taka liczba naturalna $ n $, że każdy promień może odbić się od ramion kąta co najwyżej $ n $ razy.

XXIX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że nie istnieje taka równia pochyła, że każdy czworościan dowolnie przyłożony pewną ścianą do równi nie przewróci się. Znaczy to, co następuje. Dana jest płaszczyzna $ \pi $ i prosta $ l $ nie prostopadła do niej. Dowieść, że istnieje taki czworościan $ T $, że dla każdej jego ściany $ S $ istnieje w płaszczyźnie $ \pi $ trójkąt $ ABC $ przystający do $ S $ oraz istnieje taki punkt $ D $, że czworościan $ ABCD $ przystaje do $ T $ i prosta równoległa do $ l $ przechodząca przez środek ciężkości czworościanu $ ABCD $ nie przecina trójkąta $ ABC $.
Uwaga. Środkiem ciężkości czworościanu nazywamy punkt przecięcia odcinków łączących środki ciężkości ścian tego czworościanu z przeciwległymi wierzchołkami (wiadomo, że punkt taki zawsze istnieje).

XXIX OM - II - Zadanie 4

Spośród wierzchołków $ 2n $-kąta foremnego wybrano losowo 3 różne punkty. Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach jest ostrokątny. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.
Uwaga. Zakładamy, że wszystkie wybory trzech różnych punktów są jednakowo prawdopodobne.

XXIX OM - II - Zadanie 3

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $ (a_i) $, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ suma tych wyrazów ciągu, które są nie większe od $ n $, jest liczbą nie mniejszą od $ n $. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ można wybrać z ciągu $ (a_i) $ ciąg skończony o sumie wyrazów równej $ k $.

Subskrybuje zawartość