1976-1977

XXVIII - III - Zadanie 6

Dany jest wielomian

\[<br />
W(x)= (x-a)^k\cdot Q(x),<br />
\]

gdzie $ a \neq O $, $ Q $ jest wielomianem niezerowym, $ k $ jest liczbą naturalną. Dowieść, że $ W $ ma co najmniej $ k + 1 $ współczynników różnych od zera.

XXVIII - III - Zadanie 5

Udowodnić, że dla dowolnego wielokąta wypukłego istnieje koło, na którego brzegu leżą trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta i które zawiera ten wielokąt.

XXVIII - III - Zadanie 4

Funkcja $ h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ jest różniczkowalna i spełnia dla każdego $ x $ warunek $ h(ax) = b h(x) $, gdzie $ a $ i $ b $ są pewnymi ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $ 0 \neq |a| \neq 1 $. Ponadto $ h'(0) \neq 0 $ i funkcja $ h' $ jest ciągła w punkcie $ x = 0 $.
Udowodnić, że $ a = b $ oraz istnieje taka liczba rzeczywista $ c $, że $ h(x) = cx $.

XXVIII - III - Zadanie 3

Rozważmy zbiór $ A = \{0, 1, 2, 3, \ldots, 2^{2n-1}\} $. Dana jest funkcja $ f: A \to A $ taka, że dla każdego ciągu $ (x_0, x_1, \ldots, x_{2n-1}) $ o wyrazach równych 0 lub 1 spełniona jest równość

\[<br />
\begin{split}<br />
f(x_0 + 2x_1 + 2^2x_2 + \ldots + 2^{2n-1}x_{2n-1}) = (1 - x_0) + 2x_1 + \\<br />
+ (1 - x_2)\cdot 2^2 + x_3 \cdot 2^3 + \ldots + (1 - x_{2n-2}) \cdot 2^{2n-2} + \\<br />
+ x_{2n-1}\cdot 2^{2n-1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Udowodnić, że jeżeli liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_9 \in A $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to ciąg $ (f(a_1), f(a_2), \ldots, f(a_9)) $ nie jest rosnący.

XXVIII - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ s \geq 3 $ dany jest ciąg kół $ (K_n) $ oraz ciąg $ s $-kątów wypukłych $ (W_n) $ że

\[<br />
K_n \supset W_n \supset K_{n+1} \quad \text{ dla } n = 1,2, \ldots.<br />
\]

Dowieść, że ciąg średnic kół $ K_n $ dąży do zera.

XXVIII - III - Zadanie 1

Dany jest czworościan $ ABCD $, o którego kątach płaskich wiadomo, że

\[<br />
\measuredangle BAD = 60^{\circ}, \quad  \measuredangle BAC = 40^{\circ}, \quad \measuredangle ABD = 80 ^{\circ}, \quad \measuredangle ABC = 70^{\circ}<br />
\]

Dowieść, że krawędzie $ AB $ i $ CD $ są prostopadłe.

XXVIII - II - Zadanie 6

Jaka jest największa liczba części, na które mogą rozciąć płaszczyznę brzegi $ n $ kwadratów?

XXVIII - II - Zadanie 5

Niech wielomiany $ w_n $ będą określone wzorami:

\[<br />
w_1(x) = x^2 - 1, \quad   w_{n+1}(x) = w_n(x)^2 - 1, \quad     (n = 1, 2, \ldots)<br />
\]

i niech $ a $ będzie liczbą rzeczywistą. Ile różnych rozwiązań rzeczywistych ma równanie $ w_n(x) = a $?

XXVIII - II - Zadanie 4

Dany jest taki ostrosłup o podstawie czworokątnej, że każda para okręgów wpisanych w sąsiednie ściany ma punkt wspólny. Dowieść, że punkty styczności tych okręgów z podstawą ostrosłupa leżą na jednym okręgu.

XXVIII - II - Zadanie 3

W kapeluszu znajduje się 7 kartek. Na $ n $-tej kartce napisana jest liczba $ 2^n-1 $ ($ n = 1, 2, \ldots, 7 $). Wyciągamy losowo kartki aż do momentu, kiedy suma przekroczy 124. Jaka wartość tej sumy jest najbardziej prawdopodobna?

Subskrybuje zawartość